The Physics
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Opus in profectus

RC Circuits

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Discussion

circuit diagram

charging

discharging

Start with Kirchhoff's circuit law.

V = IR +  q
C
0 = IR +  q
C

Turn it into a first order differential equation.

V =  dq  R +  q
dt C
0 =  dq  R +  q
dt C

Rearrange into a form suitable for the separation of variables procedure.

− RC  dq  = q − CV
dt
     
dq  = −  dt
q − CV RC
− RC  dq  = q
dt
     
  dq  = −  dt
  q RC

Integrate over the appropriate limits.

  q       t  
  ⌠
⎮
⌡		 dq    = − ⌠
⎮
⌡		 dt
  q − CV RC
  0       0  
ln ⎛
⎜
⎝		 q − CV ⎞
⎟
⎠		  = −   t
− CV RC
  q       t  
  ⌠
⎮
⌡		 dq    = − ⌠
⎮
⌡		 dt
  q RC
  Q0       0  
ln ⎛
⎜
⎝		 q ⎞
⎟
⎠		  = −   t
Q0 RC

Eliminate the logarithm.

q − CV  = − e−t/RC
− CV
q  =  e−t/RC
Q0

Solve for charge as a function of time.

q = CV ⎛
⎜
⎝		 1 − e−t/RC ⎞
⎟
⎠
q = Q0e−t/RC  
 

Take the first derivative of charge to get the current.

I =  dq  =  d   ⎡
⎢
⎣		 CV ⎛
⎜
⎝		 1 − e−t/RC ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
dt dt
I =  dq  =  d  Q0e−t/RC
dt dt

And here it is.

I = +  V  e−t/RC
R
I = −  Q0  e−t/RC
RC