中学でも分かる➅「ネイピア数 e」

（初めに）積分の公式を追記しました。

（本文スタート）
　ここではネイピア数 $e$ を解説し、それを底とした対数関数
　$y=\log_e x$
と指数関数
　$y=e^x$
の導関数を求め、その結果をよくつかう微分公式として整理していきます。
　さらに、それに関連する積分公式も紹介していきます。

　まずは復習として、導関数の定義は次のようなものです（中学でも分かる①「微分法」）。

導関数の定義（復習）

　関数 $y=f(x)$ がある区間で微分可能であるとき、その区間における次の式を導関数といい、$f'(x)$ と表す。

$$\begin{align*} f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$$

＊＊＊

　関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを、$f(x)$ を微分するといいます。肩に付いている記号 ”$'$” は微分するという記号です。
　また、関数 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は、次のように表すこともあります。

$$\begin{align*} \dfrac{df(x)}{dx},    \dfrac{d}{dx}f(x),    y',    \dfrac{dy}{dx},    \dfrac{d}{dx}y \end{align*}$$

　今後、当たり前のようにこの表記法は使われます。最もシンプルな $y'$ は、見かけ上どの変数で微分しているのか不明ですが、それが自明（普通は $x$ で微分）であるときはよく使われます。

対数の性質（復習）

　また、次のような対数の法則がありました（中学でも分かる④「対数関数」）。

＜対数の重要性質１＞

　$0< a<1$ または $1< a$ のとき（底の条件）

1.　$\log_a 1=0$（真数が $1$ のときは、つねに $0$）
2.　$\log_a a=1$（真数が底と同じときは、つねに $1$）

＜対数の重要性質２＞

　$a$ については、$0< a<1$ または $1< a$（底の条件）
　$M$ については、$M>0$（真数条件）
　$N$ については、$N>0$（真数条件）
で、$p$ が実数のとき

1.   $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$
2.   $\log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
3.   $\log_a M^p=p\log_a M$
　特に、$M=a$ のときは
4.　$\log_a a^p=p\log_a a=p$

＜底の変換公式＞

　$a$ については、$0< a<1$ または $1< a$（底の条件）
　$b$ については、$0< b<1$ または $1< b$（底の条件）
　$u$ については、$u>0$（真数条件）
のとき

$$\begin{align*} \log_a u=\dfrac{\log_b u}{\log_b a} \end{align*}$$

＊＊＊

対数関数の微分

　ここで、対数関数 $f(x)=\log_a x$ の導関数を求めよう。
　$f(x+h)=\log_a (x+h)$
より、先の導関数の定義を用いて

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h} \end{align*}$$

　ここで、＜対数の重要性質２＞ 2. より

$$\begin{align*} \log_a \left(x+h \right)-\log_a x&=\log_a\dfrac{x+h}{x}　\cdots (*1)\\ \end{align*}$$

なので

$$\begin{align*} \dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h} &=\dfrac{\log_a\dfrac{x+h}{x}}{h}　(*1)  より\\ &=\dfrac{1}{h}\log_a\dfrac{x+h}{x}\\ &=\dfrac{1}{h}\log_a\left(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}+\dfrac{h}{x}\right)\\ &=\dfrac{1}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\ &=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right) \end{align*}$$

　最後、$\dfrac{1}{h}$ の部分を $\dfrac{x}{h}$ に変えて、同時に $\dfrac{1}{x}$ を掛けることで等号（イコール）が成り立つようにしています（$x$ で約分すると元に戻ることを確認）。

　さらに、＜対数の重要性質２＞ 3.（係数は肩に）より

$$\begin{align*} \dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}&=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\[8pt] &=\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}  {\tiny\leftarrow係数は肩に}} \end{align*}$$

　すると、再び導関数の定義より

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\ &=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\ \end{align*}$$

　　最後、$0$ に近づけるのは $h$ であって $x$ は関係ない（固定して考えている）ので、$\dfrac{1}{x}$ を $\lim$ の外に出しました。

　ここで、$\dfrac{h}{x}=h'$ と置き換えることによって、この $f'(x)$ を $h'$ の式に書き換えます。すると

$$\begin{align*} \dfrac{x}{h}=\dfrac{\cancel{x}\times\frac{1}{\cancel{x}}}{h\times\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{h}{x}}=\dfrac{1}{h'} \end{align*}$$

であり、かつ

$$\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}h'=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h}{x}=\dfrac{0}{x}=0 \end{align*}$$

より

$h$ を $0$ に近づけると $h'$ は $0$ に近づく　$\cdots (*2)$

ので

$$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\ &=\dfrac{1}{x}\underset{h'  に書き換えた}{\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{1}{x}\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}} \end{align*}$$

　最後、$\dfrac{h}{x}$ を $h'$ に置き換えたことによって、 $0$ に近づける変数も $h$ から $h'$ に入れ替えています。「$h$ を $0$ に近づけると $h'$ は $0$ に近づく」ことは $(*2)$ で先に示されたので、入れ替えても大丈夫です。

ネイピア数 e

　すると、ここで問題になるのは次の極限です。

$$\begin{align*} \lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}} \end{align*}$$

　つまり

　これは $h'$ を $0$ に近づける極限ですが、その近づけ方には
(case 1)　プラスの方向から $0$ に近づける
(case 2)　マイナスの方向から $0$ に近づける
の２通りがあります。

すると

　$\dfrac{1}{0.1}=\dfrac{1\times10}{0.1\times10}=\dfrac{10}{1}=10$
　$\dfrac{1}{0.01}=\dfrac{1\times100}{0.01\times100}=\dfrac{100}{1}=100\raisebox{4ex}{　}$
　$\dfrac{1}{0.001}=\dfrac{1\times1000}{0.001\times1000}=\dfrac{1000}{1}=1000\raisebox{4ex}{　}$
$\hspace{20pt}\vdots$

に着目すると

(case 1)　$h'$ をプラスの方向から $0$ に近づけると

$$\begin{align*} h'=&0.1  のとき\\ &{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.1\right)}^{\frac{1}{0.1}}={1.1}^{10}=2.593742\cdots\\[3pt] h'=&0.01  のとき\\ &{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.01\right)}^{\frac{1}{0.01}}={1.01}^{100}=2.704813\cdots\\[3pt] h'=&0.001  のとき\\ &{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.001\right)}^{\frac{1}{0.001}}={1.001}^{1000}=2.716923\cdots\\[3pt] h'=&0.0001  のとき\\ &{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.0001\right)}^{\frac{1}{0.0001}}={1.0001}^{10000}=2.718145\cdots\\[3pt] h'=&0.00001  のとき\\ &{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.00001\right)}^{\frac{1}{0.00001}}={1.00001}^{100000}=\underline{2.7182}68\cdots \end{align*}$$

(case 2)　$h'$ をマイナスの方向から $0$ に近づけると

$$\begin{align*} h'=-0.1  のとき\hspace{-10pt}&\\ {\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.1\right)}^{\frac{1}{-0.1}}={0.9}^{-\frac{1}{0.1}}={0.9}^{-10}\\ =&\dfrac{1}{{0.9}^{10}}=2.867971\cdots\\[9pt] h'=-0.01  のとき\hspace{-15pt}&\\ {\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.01\right)}^{\frac{1}{-0.01}}={0.99}^{-\frac{1}{0.01}}={0.99}^{-100}\\ =&\dfrac{1}{{0.99}^{100}}=2.731999\cdots\\[9pt] h'=-0.001  のとき\hspace{-20pt}&\\ {\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.001\right)}^{\frac{1}{-0.001}}={0.999}^{-\frac{1}{0.001}}={0.999}^{-1000}\\ =&\dfrac{1}{{0.999}^{1000}}=2.719642\cdots\\[9pt] h'=-0.0001  のとき\hspace{-25pt}&\\ {\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.0001\right)}^{\frac{1}{-0.0001}}={0.9999}^{-\frac{1}{0.0001}}={0.9999}^{-10000}\\ =&\dfrac{1}{{0.9999}^{10000}}=2.718417\cdots\\[9pt] h'=-0.00001  のとき\hspace{-30pt}&\\ {\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.00001\right)}^{\frac{1}{-0.00001}}={0.99999}^{-\frac{1}{0.00001}}={0.99999}^{-100000}\\ =&\dfrac{1}{{0.99999}^{100000}}=\underline{2.7182}95\cdots \end{align*}$$

　この結果から予想されるように、$h'$ をプラスの方向から $0$ に近づけた場合と、マイナスの方向から $0$ に近づけた場合とでは同じ値 $2.7182\cdots$（下線部）に近づくことが分かり、その値（極限値）を $e$ と定義します。

$$\begin{align*} \lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}=e \end{align*}$$

　なお、動かす変数はどのような文字を用いてもよいので、一般には $h'$ の代わりに $h$ を用いて次のように表されます。これが定数 $e$ の定義です。

＜e の定義＞

$$\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e \end{align*}$$

＊＊＊

　この定数 $e$ は、対数を発見した数学者ジョン・ネイピアにちなんでネイピア数とよばれます。ネイピア数は無理数（小数点以下循環しないで無限に続く数）で

$$\begin{align*} e=2.71828\cdots  (ふなひとはちふたはち) \end{align*}$$

であることが知られています。

ネイピア数 e をグラフで確認

　ネイピア数 e をグラフを用いて視覚的に確認してみましょう。
　下図は $y={\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}$ のグラフです。
　このグラフの $h=0$ の付近を確認すれば、この極限をイメージできます。

　上図の破線部の領域を拡大したのが下図です。

　$h$ をプラスの方向から $0$ に近づけた場合とマイナスの方向から $0$ に近づけた場合とでは同じ値となり、その値（極限値）が $e$ となります（上図の青点）。

　以上より、対数関数 $f(x)=\log_a x$ の導関数 $f'(x)$ は

$$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\\ &=\dfrac{1}{x}\log_a e \end{align*}$$

　さらに＜底の変換公式＞より、底を $e$ に変換すると

$$\begin{align*} \log_a e=\dfrac{\log_e e}{\log_e a}=\dfrac{1}{\log_e a} \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a e=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\log_e a}=\dfrac{1}{x\log_e a} \end{align*}$$

となります。重要なので、次のように公式としてまとめておきます。

＜対数関数の微分公式１＞

　対数関数 $y=\log_a x$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e a} \end{align*}$$

＊＊＊

　$\dfrac{dy}{dx}$ は、関数 $y$ を $x$ で微分するという記号です（中学でも分かる①「微分法」）。$y'$ と表してもよいですが、本記事の後半で「合成関数」を勉強するので、そのときに $\dfrac{dy}{dx}$ の表記法の方が分かりやすくなります。

　ここで、上記の公式について $a=e$ とおいてみましょう。そのときの対数関数は

$$\begin{align*} y=\log_e x \end{align*}$$

となりますが、その導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e e}=\dfrac{1}{x\cdot1}=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

と簡単に結果になることが分かります。重要なので公式としてまとめておきます。

＜対数関数の微分公式２＞

　対数関数 $y=\log_e x$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

＊＊＊

自然対数

　前回の記事で、底が $10$ の対数 $\log_{10}x$ を常用対数といいました（中学でも分かる④「対数関数」）。これに対し、底が $e$ の対数 $\log_{e}x$ を自然対数といいます。

　$\log_{10}x$・・・常用対数（底が $10$）
　$\log_{e}x$・・・自然対数（底が $e$）

　先ほど勉強したように、常用対数の関数は微分すると

$$\begin{align*} (\log_{10}x)'=\dfrac{1}{x\log_e 10} \end{align*}$$

ですが、自然対数の関数は

$$\begin{align*} (\log_{e}x)'=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

と簡単な結果になります。

　ここで、対数に関するいくつかの微分公式を証明します。

＜対数関数の微分公式３＞

　対数関数 $y=\log_e |x|$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

＊＊＊

　この場合、真数は $|x|$ と絶対値がついていることに注意してください。絶対値がついてもつかなくても、微分の結果はどちらも $\dfrac{1}{x}$ になります。絶対値について（参考１）で復習します。

（注意）絶対値がつくときの真数条件

　ここで、$\log_e x$ と $\log_e |x|$ の注意を与えます。
　$\log_e x$ は、$x>0$ が真数条件となります。つまり、計算できる $x$ の範囲は正の実数となります。負の実数や $0$ のときは計算できません。

　$\log_e x$ の真数条件は　$x>0$

　一方、$\log_e |x|$ の真数条件は $|x|>0$ です。これは $x$ が負のときでも成り立ちますが、$x=0$ のときは $|x|=|0|=0$ となり成り立ちません。すなわち

　$\log_e x$ の真数条件は　$x<0$ または $0< x$（簡単に $x\ne0$ とも書く）

　つまり、$\log_e x$ と $\log_e |x|$ とでは、計算できる $x$ の範囲（定義域）が異なることに注意してください。$\log_e |x|$ の方が広くなっています。
　参考までに、$y=\log_e x$ と $y=\log_e |x|$ のグラフを与えるので、計算できる $x$ の範囲（定義域）を確認しておきましょう。

$y=\log_e x$ のグラフ

　上図より、定義域は $0< x$ です。グラフは点 $(1.  0)$ を通り、$y$ 軸に近づいていきます。この近づいていく直線を漸近線といいます。

$y=\log_e |x|$ のグラフ

　上図より、定義域は $x<0,  0< x$（つまり $x\ne0$）です。$y$ 軸対称になっていることにも注意。グラフは点 $(1.  0),  (-1.  0)$ を通り、$y$ 軸が漸近線となります。

　では改めて先ほどの公式

＜対数関数の微分公式３＞

　対数関数 $y=\log_e |x|$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

＊＊＊

を証明します。

（証明）
(case1)　$x>0$ のとき
　$|x|=x$ より　$y=\log_e |x|=\log_e x$
＜対数関数の微分公式２＞より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

(case2)　$x<0$ のとき
　$|x|=-x$ より　$y=\log_e |x|=\log_e (-x)$
　ここで $u=-x$ とおくと

$$\begin{align*} y=\log_e u \end{align*}$$

　この (case2) の場合は、合成関数という考え方を用います。

合成関数について

　$y=\log_e (-x)$ は、$y=\log_e u$ と $u=-x$ を合成した関数と考えることができます。

$$\begin{align*} y=\log_e (-x)  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=\log_e u　\cdots(*3)\\ u=-x　\cdots(*4) \end{cases} \end{align*}$$

　つまり、$(*3)$ に $(*4)$ を代入（合成）すれば $y=\log_e (-x)$ という関数が得られます。このような関数を合成関数といいます。

　$x$ が決まれば $u$ が決まり、$u$ が決まれば $y$ が決まります。

　改めて合成関数の定義を与えます。詳しくは（参考２）でも解説します。

＜合成関数の定義＞

　$y$ が $u$ の関数

$$\begin{align*} y=f(u) \end{align*}$$

で、$u$ が $x$ の関数

$$\begin{align*} u=g(x) \end{align*}$$

であるとき、これら２つの関数から、$x$ に $y$ を対応させる関数

$$\begin{align*} y=f(g(x)) \end{align*}$$

がつくられる。この関数を $y=f(u)$ と $u=g(x)$ の合成関数という。

$$\begin{align*} y=f(g(x))  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=f(u)\\ u=g(x) \end{cases} \end{align*}$$

＊＊＊

　つまり、$x$ が決まれば $u$ が決まり、$u$ が決まれば $y$ が決まります。

　先ほどの関数 $y=\log_e (-x)$ は、$y=\underset{f(u)}{\log_e u}$ と $u=\underset{g(x)}{-x}$ の合成関数と考えることができます。

$$\begin{align*} y=\underset{f(g(x))}{\log_e (-x)}  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=\underset{f(u)}{\log_e u}　\cdots(*3)\\ u=\underset{g(x)}{-x}　\cdots(*4) \end{cases} \end{align*}$$

　さて合成関数の微分は、次の合成関数の微分法を用います。

＜合成関数の微分法＞

　$y=f(u),   u=g(x)$ が微分可能であるとき

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}　\cdots(*5) \end{align*}$$

＊＊＊

　「$y$ を $x$ で微分した導関数」は、「$y$ を $u$ で微分した導関数」と「$u$ を $x$ で微分した導関数」の積と等しくなる、ということです。
　間に $du$ がはさまれていることに注意してください。この $du$ で形式的に約分するこで、この等式が成り立つことはイメージできます。

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{dx} \end{align*}$$

　このような関係を連鎖律（チェインルール）とよぶことがあります（証明は高校の教科書にもあるので、ここでは割愛します）。

　では合成関数の微分法 $(*5)$ を用いて $y=\log_e (-x)$ を微分しましょう。まずは
　$y=\log_e u$ は「$u$ の関数」
　$u=-x$ は「$x$ の関数」
とみて、それぞれを微分します。
　$y=\log_e u$ を $u$ で微分すると、＜対数関数の微分公式２＞より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}=(\log_e u)'=\dfrac{1}{u}　\cdots (*6) \end{align*}$$

　また、$u=-x$ を $x$ で微分すると、$(x)'=1$ より

$$\begin{align*} \dfrac{du}{dx}=(-x)'=-1　\cdots (*7) \end{align*}$$

　$(*5)$ に $(*6)$、$(*7)$ を代入して

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1}{u}\cdot(-1) =-\dfrac{1}{u} \end{align*}$$

　$u=-x$ だったので

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{1}{-x}=\dfrac{1}{x}\\ \end{align*}$$

　よって (case1)、(case2) より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}\\ \end{align*}$$

（証明終）

　次の公式も重要です。一般の関数 $f(x)$ で使える公式です。上記と同様に合成関数の微分法 $(*5)$ を用いて証明します。

＜対数関数の微分公式４＞

　$y=\log_e f(x)$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$$

＊＊＊

（証明）
　$u=f(x)$ とおくと

$$\begin{align*} y=\log_e u \end{align*}$$

　＜対数関数の微分公式２＞より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u} \end{align*}$$

　また、$u=f(x)$ より

$$\begin{align*} \dfrac{du}{dx}=f'(x) \end{align*}$$

　合成関数の微分法 $(*5)$ より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u} \end{align*}$$

　$u=f(x)$ だったので

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$$

（証明終）

（例１）
　$y=\log_e (2x+3)$ を $x$ で微分すると、上記の公式について $f(x)=2x+3$ と考えて

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}=\dfrac{2}{2x+3} \end{align*}$$

（例２）
　$y=\log_e (x^3-2x+5)$ を $x$ で微分すると、上記の公式について $f(x)=x^3-2x+5$ と考えて

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x^3-2x+5)'}{x^3-2x+5}=\dfrac{3x^2-2}{x^3-2x+5} \end{align*}$$

（例３）
　特に、$y=\log_e x$ を $f(x)=x$ として考えると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x'}{x}=\dfrac{1}{x} \end{align*}$$

となり、これは＜対数関数の微分公式２＞と同じ結果になります。

　次のように、絶対値がついた場合も同様に証明できます。

＜対数関数の微分公式５＞

　$y=\log_e |f(x)|$ の導関数は

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$$

＊＊＊

（証明）
　$u=f(x)$ とおくと

$$\begin{align*} y=\log_e |u| \end{align*}$$

　＜対数関数の微分公式３＞より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u} \end{align*}$$

　また、$u=f(x)$ より

$$\begin{align*} \dfrac{du}{dx}=f'(x) \end{align*}$$

　合成関数の微分法 $(*5)$ より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u} \end{align*}$$

　$u=f(x)$ だったので

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$$

（証明終）

　これまでやった対数関数の微分について、簡単にまとめてきおきます。これらは公式としてたびたび使われます。

対数関数の微分のまとめ

　$(\hspace{10pt})'$ は微分するという記号です。

$$\begin{alignat*}{2} 1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log_e a}\\[8pt] 2.& & (\log_e x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 3.& & (\log_e |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 4.& & (\log_e f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt] 5.& & (\log_e |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{alignat*}$$

　なお、数学では下記のように $\log_e x$ を $\log x$ と、底 $e$ 省略して表記することが多いです。

$$\begin{alignat*}{2} 1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log a}\\[8pt] 2.& & (\log x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 3.& & (\log |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 4.& & (\log f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt] 5.& & (\log |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{alignat*}$$

（追記）対数関数に関する積分公式

　微分と積分は互いに逆の演算でした。上記の 3. と 5. を逆に用いることによって、次の積分公式が得られます。$C$ を積分定数として

$$\begin{align*} 1.&   \int\dfrac{1}{x}  dx=\log |x|+C\\[8pt] 2.&   \int\dfrac{f'(x)}{f(x)}  dx=\log |f(x)|+C \end{align*}$$

            1.                                             2.

 　定義域（$x$ の範囲）は、真数条件より
1. は、$x\ne0$（$0$ 以外のすべての実数）
2. は、$f(x)\ne0$
となります。

　特に、2. は非常に重要で、次のように用います。

（例１）

$$\begin{align*} \int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}dx\\[8pt] &=\log |2x+3|+C \end{align*}$$

　これは、$f(x)$ を $2x+3$ として公式 2. を用いています。

$$\begin{align*} \int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x+3})'}{\underset{f(x)}{2x+3}}dx\\[8pt] &=\log |\underset{f(x)}{2x+3}|+C \end{align*}$$

（例２）

$$\begin{align*} \int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(2x^3-4x+1)'}{2x^3-4x+1}dx\\[8pt] &=\log |2x^3-4x+1|+C \end{align*}$$

　これは、$f(x)$ を $2x^3-4x+1$ として公式 2. を用いています。

$$\begin{align*} \int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x^3-4x+1})'}{\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}}dx\\[8pt] &=\log |\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}|+C \end{align*}$$

（例３）

$$\begin{align*} \int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx\\[8pt] &=\log |e^x+1|+C \end{align*}$$

　これは、$f(x)$ を $e^x+1$ として公式 2. を用いています。

$$\begin{align*} \int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f'(x)}{e^x+1})'}{\underset{f(x)}{e^x+1}}dx\\[8pt] &=\log |\underset{f(x)}{e^x+1}|+C \end{align*}$$

（例４）
　公式 2. について、$f(x)=x$ と考えると公式 1. になります。

$$\begin{align*} \int\dfrac{1}{x}  dx&=\int\dfrac{x'}{x}  dx\\[8pt] &=\log |x|+C \end{align*}$$

指数関数の微分

　指数関数 $y=a^x$ の導関数を求めます。ただし、$a$ の範囲は
　$0< a<1$ または $1< a$
です（底の条件）。
　
　まず、$y=a^x$ について両辺に自然対数をとると

$$\begin{align*} \log_e y=\log_e a^x\\ \end{align*}$$

　＜対数の重要性質２＞の 3. より
　$\log_e a^x=x\log_e a$（肩の指数を前に出せる）
より

$$\begin{align*} \log_e y=x\log_e a\\ \end{align*}$$

　この等式の両辺を $x$ で微分します。
　左辺を $x$ で微分すると、$y  (=a^x)$ は $x$ の関数、つまり $y=f(x)$ と表せるので、＜対数関数の微分公式４＞

$$\begin{align*} (\log_e f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$$

について、$f(x)$ を $y$ に置き換えて

$$\begin{align*} (\log_e y)'=\dfrac{y'}{y}　\cdots (*8)\\ \end{align*}$$

　$y$ は $x$ の関数なので $y=f(x)$ と表すことができ、$y'=f'(x)$ なので、$f(x)$ を $y$ に、$f'(x)$ を $y'$ に置き換えることができます。 
　これが左辺の微分です。

　一方、右辺を $x$ で微分すると、$(x)'=1$ より係数部分だけ残るので

$$\begin{align*} (x\log_e a)'=\log_e a　\cdots (*9)\\ \end{align*}$$

　$\log_e a$ は $x$ の係数なので、微分するとその係数のみが残ります。$(2x)'=2$ と同じ要領です。

　すると、$(*8)=(*9)$ より

$$\begin{align*} \dfrac{y'}{y}=\log_e a\\ \end{align*}$$

　両辺に $y$ をかけて

$$\begin{align*} y'=y\log_e a\\ \end{align*}$$