中学でも分かる➁「積分法」

　前回は微分法を勉強しました。ここでは、その微分の逆演算である積分法を勉強します。
・不定積分
・定積分
を勉強し、最後に
・定積分が囲われた面積になること
を解説します。イングランドの数学者・物理学者、アイザック・ニュートンの発明した微分積分法の積分です。高校の微分積分で習います。

微分の復習

　まずは、前回の微分の復習として、演習問題を与えます。

演習問題

　次の関数を微分しなさい。
(1)　$\dfrac{1}{2}x^2+1\raisebox{3ex}{　}$
(2)　$\dfrac{1}{2}x^2+3\raisebox{3ex}{　}$
(3)　$\dfrac{1}{2}x^2+C\raisebox{3ex}{　}$（$C$ は定数）
(4)　$\dfrac{1}{3}x^3+C\raisebox{3ex}{　}$（$C$ は定数）
(5)　$\dfrac{1}{4}x^4+C\raisebox{3ex}{　}$（$C$ は定数）

解答
(1)　$\left(\dfrac{1}{2}x^2+1\right)'=\dfrac{1}{2}(x^2)'+(1)'=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\cancel{2}x+0=x$
(2)　$\left(\dfrac{1}{2}x^2+3\right)'=\dfrac{1}{2}(x^2)'+(3)'=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\cancel{2}x+0=x\raisebox{3ex}{　}$
(3)　$\left(\dfrac{1}{2}x^2+C\right)'=\dfrac{1}{2}(x^2)'+(C)'=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\cancel{2}x+0=x\raisebox{3ex}{　}$
(4)　$\left(\dfrac{1}{3}x^3+C\right)'=\dfrac{1}{3}(x^3)'+(C)'=\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot\cancel{3}x^2+0=x^2\raisebox{3ex}{　}$
(5)　$\left(\dfrac{1}{4}x^4+C\right)'=\dfrac{1}{4}(x^4)'+(C)'=\dfrac{1}{\cancel{4}}\cdot\cancel{4}x^3+0=x^3\raisebox{3ex}{　}$

　(1) と (2) は、微分の結果はどちらも同じ $x$ です。つまり、$1$ や $3$ のような定数は微分すると $0$ になるので、その定数（実数）部分を一般に $C$ と置いても、微分すると $x$ になります。それが (3) の意味するところです。
　また、(3)、(4)、(5) の結果を一般化することによって、これからやる不定積分について重要な公式が得られます。

不定積分

　微分すると関数 $f(x)$ になるような関数を、$f(x)$ の不定積分といいます。

$$\begin{align*} \\[-14pt] &？\xrightarrow[]{  微分する  } f(x)\\[-4pt] &\uparrow\\[-4pt] &\hspace{-20pt}{\footnotesize f(x)  の不定積分} \end{align*}$$

　上図の「？」に入る関数が不定積分です。
　また、関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを、$f(x)$ を積分するといいます。

$$\begin{align*} \\[-14pt] &\hspace{10pt}\xrightarrow[]{  微分する}\\[-12.5pt] &？\hspace{45pt}f(x)\\[-12.5pt] &\hspace{10pt}\xleftarrow[  積分する]{}\\[-6pt] &\hspace{0pt}\uparrow\\[-4pt] &\hspace{-20pt}{\footnotesize f(x)  の不定積分} \end{align*}$$

　上図のように、微分と積分の関係は、互いに逆の演算となります。
　この章では上の不定積分「？」を求めること、つまりいろいろな関数を積分することを勉強します。
　例えば、問題 (1),  (2) でやったように

$$\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}x^2+1\right)'&=x\\ \left(\dfrac{1}{2}x^2+3\right)'&=x\\ \end{align*}$$

より、$\dfrac{1}{2}x^2+1$、$\dfrac{1}{2}x^2+3$ はどちらも $x$ の不定積分になります。

$$\begin{align*} \\[-14pt] &\hspace{37pt}\xrightarrow[]{  微分する}\\[-16.5pt] &\dfrac{1}{2}x^2+1\hspace{48pt}x\\[-16.5pt] &\hspace{37pt}\xleftarrow[  積分する]{}\\[-6pt] &\hspace{18pt}\uparrow\\[-4pt] &\hspace{1pt}{\footnotesize x  の不定積分} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \\[-14pt] &\hspace{37pt}\xrightarrow[]{  微分する}\\[-16.5pt] &\dfrac{1}{2}x^2+3\hspace{48pt}x\\[-16.5pt] &\hspace{37pt}\xleftarrow[  積分する]{}\\[-6pt] &\hspace{18pt}\uparrow\\[-4pt] &\hspace{1pt}{\footnotesize x  の不定積分} \end{align*}$$

　しかし (3) のように、定数部分を一般に $C$ とおいて微分しても

$$\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}x^2+C\right)'&=x \end{align*}$$

と $x$ になるので、$x$ の不定積分は一般に、定数 $C$ を用いて

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}x^2+C \end{align*}$$

と表されます。

$$\begin{align*} \\[-14pt] &\hspace{40pt}\xrightarrow[]{  微分する}\\[-16.5pt] &\dfrac{1}{2}x^2+C\hspace{48pt}x\\[-16.5pt] &\hspace{40pt}\xleftarrow[  積分する]{}\\[-6pt] &\hspace{18pt}\uparrow\\[-4pt] &\hspace{1pt}{\footnotesize x  の不定積分} \end{align*}$$

　これを、積分記号 $\int$ を用いて次のように表します。

$$\begin{align*} \int x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+C \end{align*}$$

　微分と積分の関係が、互いに逆の演算であることは次のように分かります。

　$\int x\,dx$ は、”インテグラル $x$ ディー $x$” と読みます。これは
　”$x$ の不定積分は $\dfrac{1}{2}x^2+C$ であること”
　つまり
　”$x$ を積分すると $\dfrac{1}{2}x^2+C$ になること”
を意味します。
　また、先の問題 (3),  (4),  (5) の結果

$$\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}x^2+C\right)'&=x   より「x  の不定積分は  \dfrac{1}{2}x^2+C」\\ \left(\dfrac{1}{3}x^3+C\right)'&=x^2  より「x^2  の不定積分は  \dfrac{1}{3}x^3+C」\\ \left(\dfrac{1}{4}x^4+C\right)'&=x^3  より「x^3  の不定積分は  \dfrac{1}{4}x^4+C」 \end{align*}$$

であることから

$$\begin{align*} \int x\,dx&=\dfrac{1}{2}x^2+C\\ \int x^2dx&=\dfrac{1}{3}x^3+C\\ \int x^3dx&=\dfrac{1}{4}x^4+C\\ \end{align*}$$

　これを一般化して、次の公式が成り立ちます。

 ＜積分公式１＞

　$n$ が $0$ 以上の整数のとき

$$\begin{align*} \int x^ndx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C（C  は積分定数） \end{align*}$$

　とくに $n=0$ のときは、実数 $x$ に対して
　$x^0=1$
と定義することによって
　$\int x^0dx=\int 1dx$
となりますが、このときは $1$ を省略して
　$\int dx$
と書きます。
　また、$C$ は実数の値を取る定数で積分定数といいます。
　不定積分という名前の由来は、積分定数 $C$ の値が定まらないこと（不定であること）に由来します。
　なお、今後「$C$ は積分定数」と書くことを省略することがあります。
　この公式をそのまま適用することによって

$$\begin{align*} \int dx&=\int x^0dx=\dfrac{1}{0+1}x^{0+1}+C=x+C\\[10pt] \int x\,dx&=\int x^1dx=\dfrac{1}{1+1}x^{1+1}+C=\dfrac{1}{2}x^{2}+C\\[10pt] \int x^2dx&=\dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+C=\dfrac{1}{3}x^{3}+C\\[10pt] \int x^3dx&=\dfrac{1}{3+1}x^{3+1}+C=\dfrac{1}{4}x^{4}+C\\[10pt] \int x^4dx&=\dfrac{1}{4+1}x^{4+1}+C=\dfrac{1}{5}x^{5}+C\\ &\hspace{6pt}\vdots\\ \int x^{10}dx&=\dfrac{1}{10+1}x^{10+1}+C=\dfrac{1}{11}x^{11}+C\\ &\hspace{6pt}\vdots \end{align*}$$

　以下同様と、形式的に積分できます。

　さらに、関数の定数倍や,、そのたし算ひき算で表される関数の不定積分については、次の公式が成り立ちます。

＜積分公式２＞

　$k,  l$ は $0$ でない定数（実数）とすると

$$\begin{align*} &1.　\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\\ &2.　\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\\ &3.　\int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\\ &4.　\int \{kf(x)+lg(x)\}dx=k\int f(x)dx+l\int g(x)dx\\ \end{align*}$$

　1.  2.  3.  を一般化したのが  4. です。
　これらの公式を用いた不定積分の具体例を上げます。

 不定積分の具体例

（例１）$2x^3$ の不定積分を求めなさい（$2x^3$ を積分しなさい）。

$$\begin{align*} \int 2x^3dx&=2\int x^3dx\\ &=\cancel{2}\cdot\dfrac{1}{\underset{2}{\cancel{4}}}x^4+C\\ &=\dfrac{1}{2}x^4+C \end{align*}$$

　定数 $2$ は積分の外にだして、$x^3$ 部分を積分します。

（例２）$4x^3-2x^2+5$ の不定積分を求めなさい（$4x^3-2x^2+5$ を積分しなさい）。

$$\begin{align*} \int (4x^3-2x^2+5)dx&=\int 4x^3dx-\int 2x^2dx+\int5dx\\ &=4\int x^3dx-2\int x^2dx+5\int dx\\ &=\cancel{4}\cdot\dfrac{1}{\cancel{4}}x^4-2\cdot\dfrac{1}{3}x^3+5\cdot x+C\\ &=x^4-\dfrac{2}{3}x^3+5x+C\\ \end{align*}$$

　関数のたし算ひき算で表される場合は、それぞれを別々に積分します。
　なお、高校３年で習う数学Ⅲの微分積分では、指数 $n$ は実数まで拡張されます（参考１で数の拡張）。
　応用として、（参考２）＜積分公式３＞の方で簡単に解説します。

定積分

　ここから定積分に入ります。まずは定積分の計算方法を示し、その定積分が囲われた面積になることを解説していきます。
　関数 $f(x)$ の不定積分の１つを $F(x)$ とします。つまり

$$\begin{align*} \int f(x)dx=F(x) \end{align*}$$

　不定積分の「１つ」とは、不定積分には積分定数 $C$ の実数値を変えたものが無数にあるので、その中の「１つ」を任意に選ぶためです。
　例えば $x$ の不定積分は

$$\begin{align*} \int x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+C \end{align*}$$

ですが、積分定数 $C$ は実数なので、その実数の違いだけ無数にあります。つまり、$C$ の実数値を任意に１つ選んでもよいということです。
　関数 $f(x)$ の不定積分の１つを $F(x)$ としたとき、２つの実数 $a$,  $b$ について

$$\begin{align*} F(b)-F(a) \end{align*}$$

を、$f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい、記号

$$\begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align*}$$

で表します。つまり

$$\begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a) \end{align*}$$

　定積分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ の値を求めることを、関数 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで積分するといい、$a$ をこの定積分の下端、$b$ を上端といいます。
　さらに

$$\begin{align*} F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} \end{align*}$$

と、”四角カッコ” で不定積分 $F(x)$ を明示することによって、定積分は次のステップで計算できます。

$$\begin{align*} \int_{a}^{b} f(x) dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \end{align*}$$

＊＊＊

　つまり定積分は、一度不定積分 $F(x)$ を求めてから、それに上端 $b$ を代入した値から、下端 $a$ を代入した値を引いて計算します。

　これだけだと抽象的なので、具体例を上げます。

定積分の具体例

（例１）関数 $x$ を $1$ から $5$ まで定積分する。
　$x$ の不定積分は
　$\int x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+C$
なので

$$\begin{align*} \int_{1}^{5} x\,dx&=\Big[\underset{x  の不定積分}{\dfrac{1}{2}x^2+C}\Big]_{1}^{5}\\ &=\underset{上端  x=5  を代入}{\left(\dfrac{1}{2}\cdot5^2+C\right)}-\underset{下端  x=1  を代入}{\left(\dfrac{1}{2}\cdot1^2+C\right)}\\ &=\left(\dfrac{25}{2}+C\right)-\left(\dfrac{1}{2}+C\right)\\ &=\dfrac{25}{2}+C-\dfrac{1}{2}-C\\ &=\dfrac{25}{2}-\dfrac{1}{2}+\cancel{C}-\cancel{C}\\ &=\dfrac{\overset{12}{\cancel{24}}}{\underset{1}{\cancel{2}}}\\ &=12 \end{align*}$$

（例２）関数 $x^2$ を $1$ から $3$ まで定積分する。
　$x^2$ の不定積分は
　$\int x^2dx=\dfrac{1}{3}x^3+C$
なので

$$\begin{align*} \int_{1}^{3} x^2dx&=\Big[\underset{x^2  の不定積分}{\dfrac{1}{3}x^3+C}\Big]_{1}^{3}\\ &=\underset{上端  x=3  を代入}{\left(\dfrac{1}{3}\cdot3^3+C\right)}-\underset{下端  x=1  を代入}{\left(\dfrac{1}{3}\cdot1^3+C\right)}\\ &=\left(\dfrac{27}{3}+C\right)-\left(\dfrac{1}{3}+C\right)\\ &=\dfrac{27}{3}+C-\dfrac{1}{3}-C\\ &=\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}+\cancel{C}-\cancel{C}\\ &=\dfrac{26}{3} \end{align*}$$

　なお、上で計算したように、定積分を計算するにあたって積分定数 $C$ は $C-C=0$ で消えます。つまり、定積分の値は積分定数 $C$ の値に無関係に定まるので、定積分の計算は次の（例）のように、積分定数 $C$ を省いて行うのが普通です。

（例３）関数 $x^2+x+1$ を $-1$ から $2$ まで定積分する。
　$x^2+x+1$ の不定積分は
　$\int (x^2+x+1)dx=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x+C$
なので

$$\begin{align*} \int_{-1}^{2} (x^2+x+1)dx&=\Big[\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x\Big]_{-1}^{2}　(\leftarrow C を省く)\\ &=\left(\dfrac{1}{3}\cdot2^3+\dfrac{1}{2}\cdot2^2+2\right)-\left(\dfrac{1}{3}\cdot{(-1)}^3+\dfrac{1}{2}\cdot{(-1)}^2+(-1)\right)\\ &=\left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{2}+2\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-1\right)\\ &=\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{2}+2+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+1\\ &=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}+2+1\\ &=\dfrac{\overset{3}{\cancel{9}}}{\cancel{3}}+\dfrac{3}{2}+3\\ &=3+\dfrac{3}{2}+3\\ &=6+\dfrac{3}{2}\\ &=\dfrac{12}{2}+\dfrac{3}{2}\\ &=\dfrac{15}{2} \end{align*}$$

（例４）関数 $2x^3+4x$ を $0$ から $3$ まで定積分する。
　$2x^3+4x$ の不定積分は

$$\begin{align*} \int(2x^3+4x)dx&=\cancel{2}\cdot\dfrac{1}{\underset{2}{\cancel{4}}}x^4+\overset{2}{\cancel{4}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}x^2+C\\ &=\dfrac{1}{2}x^4+2x^2+C\\ \end{align*}$$

なので

$$\begin{align*} \int_{0}^{3} (2x^3+4x)dx&=\Big[\dfrac{1}{2}x^4+2x^2\Big]_{0}^{3}　(\leftarrow C を省く)\\ &=\left(\dfrac{1}{2}\cdot3^4+2\cdot3^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot0^4+2\cdot0^2\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot81+2\cdot9-0\\ &=\dfrac{81}{2}+18\\ &=\dfrac{81}{2}+\dfrac{36}{2}\\ &=\dfrac{117}{2} \end{align*}$$

定積分が面積になること

　定積分の重要な性質として、次の性質があります。

＜定積分は囲われた面積＞

　区間 $a\leqq x \leqq b$ で $f(x)\geqq0$ の場合を考えます。つまり、下図のように $y=f(x)$ のグラフが、$a\leqq x \leqq b$ の範囲で $x$ 軸より上側（接する場合も含む）にある場合です。

　このとき、$\int_{a}^{b} f(x) dx$ の値は、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、および２直線 $x=a$ と $x=b$ で囲まれた部分の面積を表します。下図の黒塗部分の面積です。

＊＊＊

　定積分が面積になることの証明は、高校の微分積分で習います（証明は割愛します）。
　簡単な例題を通して、定積分が面積になることを確認します。

（例題１）
　下図のように、直線 $y=3$ と $x=4$、および $x$ 軸と $y$ 軸とで囲まれた部分の面積を、定積分を用いて求めなさい。

　なお、直線 $y=3$ とは $x$ 軸に平行な直線（$x$ の値に関係なく $y$ 座標が常に $3$ になる直線）、直線 $x=4$ とは $y$ 軸に平行な直線（$y$ の値に関係なく $x$ 座標が常に $4$ になる直線）です。

（解答）
　関数 $y=3$ を $0$ から $4$ まで定積分すればいいので

$$\begin{align*} \int_{0}^{4} 3dx&=3\int_{0}^{4} dx\\ &=3\Big[x\Big]_{0}^{4}\\ &=3(4-0)\\ &=3\cdot4\\ &=12 \end{align*}$$

　これは、下図のように縦 $3$、横 $4$ の長方形の面積
　縦$\times$横 $=3\times4=12$
と同じになります。確かに積分の値は面積になります。

（例題２）
　下図のように、直線 $y=2x$ と $x=2$ 、および $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を、定積分を用いて求めなさい。

（解答）
　関数 $y=2x$ を $0$ から $2$ まで定積分すればいいので

$$\begin{align*} \int_{0}^{2} 2xdx&=2\int_{0}^{2} xdx\\ &=2\Big[\dfrac{1}{2}x^2\Big]_{0}^{2}\\ &=2(\dfrac{1}{2}\cdot2^2-\dfrac{1}{2}\cdot0^2)\\ &=2(\dfrac{1}{2}\cdot4-0)\\ &=\cancel{2}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot4\\ &=4 \end{align*}$$

　これは、下図のように底辺 $2$、高さ $4$ の直角三角形の面積
　底辺$\times$高さ$\times \dfrac{1}{2}=\cancel{2}\times4\times\dfrac{1}{\cancel{2}}=4$
と同じになります。確かに積分の値は面積になります。

（例題３）
　下図のように、曲線 $y=x^2$ と直線 $x=-2$、$x=1$、および $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を、定積分を用いて求めなさい。

（解答）
　関数 $y=x^2$ を $-2$ から $1$ まで定積分すればいいので

$$\begin{align*} \int_{-2}^{1} x^2dx&=\Big[\dfrac{1}{3}x^3\Big]_{-2}^{1}\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot1^3-\dfrac{1}{3}\cdot{(-2)}^3\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot1-\dfrac{1}{3}\cdot(-8)\\ &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}\\ &=\dfrac{\overset{3}{\cancel{9}}}{\cancel{3}}\\ &=3 \end{align*}$$

　グラフは原点 O で $x$ 軸と接していますが、そのまま定積分してもかまいません。

いろいろな関数の積分

　ここでは、いろいろな関数の積分を紹介します。これらは公式として用いられます。積分は微分の逆演算なので、微分の公式をもとにして定積分の公式を得ることができます。
　ここでは結果だけを列挙します（高校の数学Ⅲの微分積分で習います）。

＜三角関数の不定積分＞
　$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
　$\int \cos x\,dx=\sin x+C$
　$\int \dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$　

＜指数関数の不定積分＞
　$\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$（$a$ は $1$ でない正の定数）
　$\int e^xdx=e^x+C$

　なお、$\log x$ は $e$ を底とする対数で
　$\log_e x=\log x$
と $e$ を省略して書くのが普通です。この $e$ は $e=2.71828 \cdots$ となる無理数の定数で、ネイピア数（Napier's constant）とよばれています。
　この $e$ を低とする対数 $\log x$ を、$x$ の自然対数といいます。
　また、$10$ を低とする対数 $\log_{10} x$ を、$x$ の常用対数といいます。
　最後の $e^x$ は（積分定数は付きますが）積分しても変化しない関数です。微分しても変化しないことと同様に、積分しても変化しません。
　数学、物理、工学など、勉強が進めばこの $e^x$ が重要な役割を演じることになるので

$$\begin{align*} (e^x)'&=e^x（微分しても変わらない）\\ \int e^xdx&=e^x+C（積分しても変わらない） \end{align*}$$

は特に押さえておきましょう。

$$\begin{align*} \\[-14pt] &\hspace{30pt}\xrightarrow[]{  微分する}\\[-12.5pt] &e^x+C\hspace{46pt}e^x\\[-12.5pt] &\hspace{30pt}\xleftarrow[  積分する]{} \end{align*}$$

（参考１）数の分類

　数の分類は以下の通りです。

$$\begin{align*} \boldsymbol{複素数  a+bi}  \begin{cases} \overset{\small b=0  のとき}{\boldsymbol{実数  a}} \begin{cases} \underset{\scriptsize 分数で表せる数}{\boldsymbol{有理数}} \begin{cases} \boldsymbol{整数} \begin{cases} \boldsymbol{自然数}  \scriptsize{(1,  2,  3, \cdots)}\\ \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{負の整数}  \scriptsize{(-1, -2, -3, \cdots)} \end{cases}\\ \boldsymbol{有限小数}\\ 　{\footnotesize 例　0.17 (=\dfrac{17}{100})}\\ \boldsymbol{循環小数{\scriptsize（循環する無限小数）}}\\ 　{\footnotesize 例　0.232323\cdots\left(=\dfrac{23}{99}\right)} \end{cases}\\ \underset{\scriptsize 分数で表せない数}{\boldsymbol{無理数}}\\ 　{\scriptsize 例　\pi  (=3.1415\cdots)  のような \boldsymbol{循環しない無限小数}}\\ 　　    {\scriptsize e  (=2.7182\cdots)  のような \boldsymbol{循環しない無限小数}}\\ \end{cases}\\ \overset{\small b\ne0  のとき}{\boldsymbol{虚数  a+bi}}　特に  a=0  のとき  \boldsymbol{bi}  を\boldsymbol{純虚数}という。  \end{cases} \end{align*}$$

（参考２）＜積分公式３＞

　$x^n$（$n$ は $0$ 以上の整数）の不定積分ついて、以下のように $n$ の範囲は実数まで拡張されます（高校の数学Ⅲの微分積分で習います）。

＜積分公式３＞
　$\int x^\alpha dx$（$\alpha$ は実数）について

(case1)　$\alpha$ が $-1$ 以外の実数のとき

$$\begin{align*} \int x^\alpha dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C　(\alpha\ne-1) \end{align*}$$

(case2)　$\alpha=-1$ のとき

$$\begin{align*} \int x^{-1} dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\log|x|+C\\ \end{align*}$$

＊＊＊

　$\alpha=-1$ のときは $\dfrac{1}{\alpha+1}$ の分母が $0$ になり、(case2) として別扱いになります。これは $\log|x|$ の微分
　$(\log|x|)'=\dfrac{1}{x}$
の逆演算として証明されます。これも
　$(\log x)'=\dfrac{1}{x}$
と合わせて微分公式として覚えておきましょう。

絶対値について

　なお、$|x|$ を $x$ の絶対値といい、$|     |$ を絶対値記号といいます。絶対値は次のように計算します。

$$\begin{align*} &x\geqq0  のとき　|x|=x\\ &x<0  のとき　|x|=-x \end{align*}$$

＊＊＊

　絶対値 $|     |$ の中身が $0$ 以上のときはそのまま絶対値をはずし、中身が負のときはマイナスをかけて絶対値をはずします。つまり、結果がマイナスの値にならないようにします。

$$\begin{align*} &\left|2\right|=2 & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\ &\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5} & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\ &\left|-2\right|=-(-2)=2 & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\ &\left|-\sqrt{5}\right|=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5} & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\ &\left|0\right|=0 & &\small{（0  のときはそのまま絶対値をはずす）} \end{align*}$$

　実数の絶対値は、数直線における原点 Oオー からの距離とみなすことができます。例えば
　原点 O から $2$ までの距離は　$|2|=2$
　原点 O から $-2$ までの距離は　$|-2|=2$
　原点 O から $-5$ までの距離は　$|-5|=5$

　＜積分公式３＞を用いた具体例をあげます。

（例１）

$$\begin{align*} \int x^{\sqrt{2}}dx&=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}x^{\sqrt{2}+1}+C\\[10pt] \int x^{-\sqrt{5}}dx&==\dfrac{1}{-\sqrt{5}+1}x^{-\sqrt{5}+1}+C \end{align*}$$

（例２） 指数が負の整数のときは
　$x^{-1}=\dfrac{1}{x}\raisebox{3ex}{　}$
　$x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\raisebox{3ex}{　}$
　$x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\raisebox{3ex}{　}$
$\hspace{32pt}\vdots$
以下同様、と定義されることにより（高校２年で習う指数の拡張）、$\alpha$ が $-1$ 以外の負の整数（$-2, -3, -4, \cdots$）のときは

$$\begin{align*} \int\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\int x^{-2}dx\\ &=\dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C\\ &=\dfrac{1}{-1}x^{-1}+C\\ &=-x^{-1}+C\\ &=-\dfrac{1}{x}+C \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int\dfrac{1}{x^3}\,dx&=\int x^{-3}dx\\ &=\dfrac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\ &=\dfrac{1}{-2}x^{-2}+C\\ &=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2}+C\\ &=-\dfrac{1}{2x^2}+C \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int\dfrac{1}{x^4}\,dx&=\int x^{-4}dx\\ &=\dfrac{1}{-4+1}x^{-4+1}+C\\ &=\dfrac{1}{-3}x^{-3}+C\\ &=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x^3}+C\\ &=-\dfrac{1}{3x^3}+C \end{align*}$$

　以下同様と計算されます。

　なお、(case2) の $\dfrac{1}{x}$ の不定積分は、よく出るので公式として覚えておきましょう。改めて掲載しておきます。

$$\begin{align*} \int \dfrac{1}{x}\,dx=\log|x|+C\\ \end{align*}$$

　$\log|x|$ と $x$ に絶対値がついているので、$x$ の範囲は $0$ 以外のすべての実数で定義されています。それは、$\log|x|$ の真数部分 $|x|$ は $0$ より大きい（$|x|>0$）という真数条件を満たすためです。$x>0$ でも $x<0$ でも、真数条件 $|x|>0$ は満たします。

真数条件

　対数 $\log_aM$ について、真数 $M$ は $M>0$ を満たさなければならない。

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　真数条件は高校の指数対数で詳しく習います。
　なお、この公式について $x=0$ のときは、$\dfrac{1}{x}$ の分母が $0$ になるので定義されていません。