【ランダムウォークとは？🌈】非定常過程における単位根検定の基礎概念：計量経済学✨ No.7

2023年8月9日 12:02

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖

本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖

前回のお復習い✨

定常性が満たされないケースの時系列分析💛

今回は、非定常過程における時系列分析モデルを考えていくことにします

具体的には、単位根の検定を実施します

なお、参考文献は、以下の通りです✨

まずは、自己回帰AR(1)過程を考えます

$y_t = μ+\phi y_{y-1} +u_t…①\\ \\u_t ～i.i.d(0,\sigma^2):White Noise$

ただし、ｕt は期待値は 0 で一定の分散(σ^2)を持つホワイトノイズとします
この場合は、|Φ|<1 であれば、この過程は定常性を満たすことになります
他方は、Φ＝1の場合は①式は、以下のように書き換えられます

$y_t = μ+y_{t-1}+u_t…②$

ただ、これは非定常過程です

このようにちょうど Φ＝1 であるような根は、単位根(unit root)と呼ばれます
以下では、定常性が満たされないケースとして、単位根の場合に焦点を当てることにします

ランダムウォーク

以下では、②式におけるドリフト項(μ)のないモデルを考えます

$y_t = y_{t-1} + u_t \cdot\cdot\cdot ②’$

これは、非定常過程であり、ランダムウォーク(random walk)と呼ばれています

この場合には、初期値をy0とすると、以下のようになります

$y_t = y_0 +\displaystyle\sum_{i=1}^tu_i\cdot\cdot\cdot ③$

③式より、初期値以外は、過去の撹乱項の和のみで表現される確率過程となることがわかります

したがって、③式の期待値E(･)を取ると

$E(y_t) = E(y_0 +\displaystyle\sum_{i=1}^tu_i)=y_0\cdot\cdot\cdot ④$

④という結果を得ます

すなわち、常に期待値は、初期値ｙ0の値で一定となることがわかります
また、定数項が含まれていないので、トレンドは持ちません

そして、分散V(･)は、以下のように表記されます

$V(y_t) = V(\displaystyle\sum_{i=1}^tu_i)=t\sigma^2\cdot\cdot\cdot ⑤\\ \\ \\V(y_{t-s}) = V(\displaystyle\sum_{i=1}^{t-s}u_i)=(t-s)\sigma^2\cdot\cdot\cdot ⑥$

最後に、自己共分散(autocovariance) : γ(s)は⑦式のように与えられます

$Autocovariance:γ(s)\\=E[(y_t-y_0)(y_{t-s}-y_0)]\\　　　　　\\ =E[(u_t +u_{t-1}+\cdot\cdot\cdot +u_1)\\\times(u_{t-s} +u_{t-s-1}+\cdot\cdot\cdot +u_1)\\ \\=E[u_{t-s}^2+u_{t-s-1}^2+\cdot\cdot\cdot +u_1^2]\\=(t-s)\sigma^2\cdot\cdot\cdot ⑦$

したがって、⑤式、⑥式および⑦式より、自己相関ρ(s)は次のように求められるのです

$Autocorrelation\\ \\ρ(s)=\frac{(t-s)\sigma^2}{ \sqrt{\smash[b]{t\sigma^2}}\sqrt{\smash[b]{(t-s)\sigma^2}} }\\ \\ =\sqrt{\smash[b]{\frac{t-s}{ t }}} \cdot\cdot\cdot ⑧\\ \\$

⑧式より、所与のｔのもとで、時点の差(s)が増加するにつれて、自己相関の値は、次第に1から小さくなっていくことがわかります

つまり、ｓが増加するにつれて、自己相関はゆっくりと減衰していく傾向を持ちます

加えて、自己相関からだけでは、ランダムウォークと定常過程とを区別することは困難であることがわかります

プラスワントピック：和記号について💎

以下では、計量経済学だけではなくあらゆる場面で登場することが多い和記号Σについて解説したいと思います

いま、x1,x2,･･･xn が与えられたとき、以下のように和記号を定義します

$Sum symbol\\ \\ \textstyle\sum_{i=1}^nx_i =x_1+x_2 \cdot\cdot\cdot x_n$

和記号の性質

{xi},{yi}が与えられたとき、和記号Σに関して、以下の性質が成り立ちます

$Properties of sum symbols \\ \\(1) \textstyle\sum_{i=1}^n k =nk\\ \\(2)\textstyle\sum_{i=1}^nkx_i=k\textstyle\sum_{i=1}^n x_i\\ \\ (3)\textstyle\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=\textstyle\sum_{i=1}^n x_i+\textstyle\sum_{i=1}^n y_i$

以上の(1)～(3)の性質より、次の計算も可能であることがわかります

$\textstyle\sum_{i=1}^n x_i^2=x_1^2 + x_2^2+\cdot\cdot\cdot +x_n^2\\ \\\textstyle\sum_{i=1}^n x_i y_i =x_1y_1+x_2y_2 +\cdot\cdot\cdot +x_n y_n\\ \\ \\\textstyle\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^2=\textstyle\sum_{i=1}^n(x_i^2+2x_iy_i+y_i^2)\\ \\=\textstyle\sum_{i=1}^nx_i^2+2\textstyle\sum_{i=1}^n x_iy_i+\textstyle\sum_{i=1}^n y_i^2$

本日の解説は、ここまでといたします
計量経済学：時系列分析は、卒業論文執筆において欠かせない知識です
また、このようなデータに対する分析力を身につけることは、自らの将来的な市場価値向上につながる可能性が高いと言えます

また、和記号の計算などは、受験勉強において必須の知識です
ぜひ、これらの投稿が何かお役立てになれば、幸いです💛

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

https://note.com/kens_reading1/n/naa75dd7b17f1

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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