【非定常過程へ対処🌈】単位根検定への導入と和分過程のインプリケーション：計量経済学✨ No.6

2023年8月6日 21:33

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖

本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読くださいね💖

前回のお復習い✨

定常性が満たされないケースの時系列分析💛

今回は、非定常過程における時系列分析モデルを考えていくことにします
具体的には、単位根の検定を実施します
参考文献は以下の通りです✨

まずは、自己回帰AR(1)過程を考えます

$y_t = μ+\phi y_{y-1} +u_t…①\\ \\u_t ～i.i.d(0,\sigma^2):White Noise$

ただし、ｕt は期待値は 0 で一定の分散(σ^2)を持つホワイトノイズとします
この場合は、|Φ|<1 であれば、この過程は定常性を満たすことになります
他方は、Φ＝1の場合は①式は、以下のように書き換えられます

$y_t = μ+y_{t-1}+u_t…②$

ただ、これは非定常過程です
このようにちょうど Φ＝1 であるような根は、単位根(unit root)と呼ばれます
以下では、定常性が満たされないケースとして、単位根の場合に焦点を当てることにします

いまは、初期値を y0（所与）とし、②式を逐次代入すると以下のように式変形できるようになります

$y_1 = μ+y_0 +u_1\\y_2=μ+y_1+u_2 \\ =2μ+y_1+u_1+u_2\\ \cdot\cdot\cdot \\y_t =tμ+y_0+u_1+u_2+ \cdot\cdot\cdot +u_t…③$

③式から明らかなように、ytは定常確率変数 ut の和となっており、過去の遠いショックが時点とは独立に、同じウェイトを持って、現在の変数の動きに影響を与えていることに注意する必要があるのです

$E(y_t) = tμ+y_0…④$

なお、③式の期待値は④式のようになり、ｙtの期待値が線形のトレンドを持つことがわかります

つまり、単位根が存在する場合には、定数項が含まれていると期待値が線形のトレンドを持つことがわかります

このような非定常過程を定常過程に変換するためには、階差を取ればいいとよいと思います
ここで、次の階差演算子(difference operator)を以下のように定義します

$Difference operetor\\ \\\Delta^k=(1-L)^k…⑤$

したがって、⑤式を用いると以下の式を得ます

$\Delta^k y_t = (1-L)^ky_t …⑥$

この⑥式を応用すると、以下のようになります

$\Delta y_t = (1-L)y_t ＝μ + u_t …⑦$

⑦式の右辺は、期待値がμ、分散が有限の定常過程となります
経済データの場合には、1階の開催を取ることによって、定常過程になることが多いです

また、⑦式の定数項は、ドリフト項と呼ばれます

1階の階差を取ることによって定常過程になるとき、系列は1次の和分過程(integrated process of order one)に従っていると呼ばれます
これをＩ(1)過程と示すことにしましょう
なお、定常過程はＩ(0)過程と呼ばれています

もしｄ階の階差をとることによって、定常化されるのであれば、その系列はｄ次の和分過程といわれ、Ｉ(d)過程と示されます

また、以下のような関係も成立します

$Integrated Process\\ \\x_t ～I(1),y_t～I(2)\\\to x_t + y_t ～I(2)$

これは、相異なる和分過程の変数を加えると、大きいほうの次数で和分された系列を取ることが知られているのです📝

基礎演習①：非定常過程🔥

次のモデル①式を考えてみます
ただし、誤差項ｕt は平均が0、分散がσ^2のホワイトノイズとします
ｙt を初期値ｙ0 は、所与とします

$Basic Practice: Econometrics\\ \\ y_t =10t +y_{t-1}+u_t\cdot\cdot\cdot ①\\ \\E(u_t)=0,V(u_t)= \sigma^2\\ \\Available Imformation\\ I_{t-1}=(y_{t-1},y_{t-2},\cdot\cdot\cdot ,u_{t-1},u_{u-2}\cdot\cdot\cdot )\\ \\$

考える設問は、以下の通りです👍
(1)ｙt の期待値を求める
(2)ｙt の分散を求める
(3) t－1時点で利用可能な情報Ｉt-1に基づく、ｙtの条件付き期待値を求めなさい
(4)t－1時点で利用可能な情報Ｉt-1に基づく、ｙtの条件付き分散を求めなさい

$y_t = 10t + y_0 + u_1 +u_2+ \cdot\cdot\cdot +u_t\\ \\ (1)Expectation of y_t \\E(y_t) =E(y_t = 10t + y_0 + u_1 + \cdot\cdot\cdot +u_t)\\ = 10t + y_0\\ \\(2)Variance of y_t \\V(y_t)= E[\{y_t -E(y_t)\}^2]\\=E[(u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot + u_t)^2]=t\sigma^2 \\ \\(3)E_{t-1}(y_t) =E_{t-1}(10+y_{t-1}+u_t)\\ =10t +y_{t-1}\\ \\(4)V_{t-1}(y_t)\\=E_{t-1}[\{y_t-E_{t-1}(y_t)\}^2] = E_{t-1}(u_t)^2 =\sigma^2$

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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