Arkitas

Arkitas
Irudi gehiago
Bizitza
Jaiotzako izen-deiturak	Ἀρχύτας
Jaiotza	Taras (en) , K.a. 430
Heriotza	Taras (en) , K.a. 345 (84/85 urte)
Hezkuntza
Hizkuntzak	antzinako greziera
Irakaslea(k)	Filolao
Ikaslea(k)	ikusi Eudoxo Knidokoa
Jarduerak
Jarduerak	matematikaria, fisikaria, filosofoa, musikologoa, ingeniaria, politikaria eta Eskola pitagorikoa
Lan nabarmenak	ikusi The Harmonic (en) De viro bono et beato
Mugimendua	Eskola pitagorikoa Filosofo presokratikoak

Arkitas Tarentokoa (grekeraz Αρχύτας; Tarento, K.a. 428 - Mattinata, K.a. 347) filosofo, matematikaria, astronomoa, politikaria eta estratega militarra izan zen. Magna Graeciako Tarentumen jaioa (gaur egungo Italiako hegoaldean), Mnesagoras edo Histiaeus-en seme eta Filolaon ikasle izan zen; era berean Eudoxo Knidokoaren matematika irakasle izan zelarik. Platonen garaikoa eta pitagorikoen zientzialaria izateagatik izan zen ezaguna.

Arkitasek bere jaioterrian egin zuen lan, Apuliako Tarento kolonia greziarrean. Ezaguna da, batez ere, Platonekin zuen harreman adiskidetsuagatik, asmatu omen zuen uso hegalariagatik eta unibertsoaren infinitutasuna frogatzen saiatu zen gogo-esperimentuagatik. Bere idazkien zati batzuk baino ez dira gordetzen, batez ere matematika eta musika gaiak jorratzen zituztenak.

Arkitas, zientziaren teorialari gisa, baikorra zen. Metodo egokia edukiz gero, ezagutza zientifikoa erraz lor zitekeela uste zuen. Matematika oinarrizko zientzia dela azpimarratu zuen bereziki. Bere lorpen matematikorik esanguratsuena izan zen kuboa bikoizteko problemaren soluzioa. Horrek erakusten du aparteko konplexutasun metodologikoa zuela bere garairako. Harmonia musikalean lagundu zuen bitarte harmonikoaren teoria matematikoarekin. Optikan, hausnarketarako azalpen bat aurkitzen saiatu zen, eta, akustikan, tonu desberdinetarako. Haren lorpen zientifikoak —ezer gutxi dakigu haiei buruz, gordetako datuen urritasunagatik— ondorengoek eta zientziaren historialari modernoek aintzatetsi zituzten.

Arkitasek zeregin politiko eta militar erabakigarria izan zuen bere jaioterriko eta Italia hegoaldeko kolonia greziarren federazio bateko (bera buru zela) estatu-politikari eta estratega nagusi gisa. Bere arrakasta militarrek autoritate handia eman zioten. Barne esparruan, oreka sozialaren alde egin zuen justiziaren kontzeptu bat zientifikoki justifikatu eta horrela adostasuna lor daitekeelakoan.

Biografia

Arkitas Tarenton jaio zen (Magna Graecia, gaur egun Italia) K.a. 435 eta 410 urteen artean.​ Hestieoren semea, Aristogenesen arabera, edo Mnesagorasena, Diogenes Laerzioren arabera. Hiru gerratan, komandante, eta Tarentoko stratego zazpi urtez izan zen (bere gizarte-ospearen adierazgarri), legeak, berrautaketa, urtebete baino gehiago debekatzen baitzuen. Tarenton erreforma politiko bat gidatu zuen, zeinaren bidez Magna Graeziako hiririk aberatsena eta populatuena izatera iritsi baitzen. Memorialak, tenpluak eta beste eraikin batzuk eraikiz, distira eman zion hiriari. Merkataritzari bultzada berriak ematen lagundu zuen Istria, Grezia eta Afrikarekin elkarteak bilatuz.

Arkitas Tarentokoa Pitagorikoen eskola-sektako kide izan zen, Filolaoren eskolako ikaslea. Platonen laguna izan zen, hark Italiaren hegoaldera eta Siziliara K.a. 388/387an, Sokrates hil ondoren, egin zuen lehen bidaian ezagutu zuena. Bere Zazpigarren Gutunean, Platonek dio Arkitasek Dionisio II.a Sirakusakoarekin izandako zailtasunetatik libratu nahi izan zuela gomendiozko gutun baten bidez eta Siziliara itsasontzi bat bidaliz, K.a. 361. urtean. Autore batzuentzat, Platonen maisu pitagorikoa izan zen, beste batzuentzat, berriz, haren dizipulua.

Matematika irakatsi zion Eudoxo Knidokoari, aldi berean Menecmo-ren maisu izanik. Kuboaren bikoizketaren arazora hurbilketa ona lortu zuen lehen pertsona izan zen,​ eta, Pitagorasen ondoren, Aritmetika, Geometria, Astronomia eta Musikaren ezagutza bateratuan lan egin zuen lehenengoetako bat, Quadrivium-en, baita akustikan ere, matematika diziplina teknikoetara mugatuz, zeinekin uste den polea eta torlojua asmatu zituen, baita hegoekin artikulatutako mekanismo moduko bat, txori baten antzekoa, lurrun konprimituzko nukleo baten bultzadari esker 300 metro inguru hegan egitea lortu baitzuen. Aristotelesen iritsiz, txintxirrinaren asmatzaile izan zen. Beste batzuek diote Euklidesengan ere eragin zuzena izan zuela.

Horaziok bere oda batean kontatzen duenez, Arkitas Apuliako itsasertzean hil zen hondoratze batean K.a. 360 eta 350 urteen artean. Horaziok idatzi zuen haren gorpua lurperatu gabe gelditu zela nabigatzaile batek gainera hondarra bota zion arte, bestela, Estige aintziraren alde honetan ehun urtez ibiliko baitzen noraezean.

Arkitasen kurba

Arkitasen kurba toru baten eta zilindro baten arteko ebaketa-kurbaren kasu berezi bat da. Kuboa bikoizteko erabil daiteke.

• 
  Arkitasen kurba.
• 
  Arkitasen kurba.
• 
  Arkitasen kurba. Kuboaren bikoizketa
• 
  Kuboaren bikoizketa Arkitasen arabera, sekuentzia

Lanak

Arkitasen lanetatik, benetako lau zati baino ez dira geratu bizirik. Iturri zaharrenetan, ez da obra-zerrendarik aurkitzen. Geroagoko garaietan, gezurrezko obra asko ibili ziren bere izenpean.​ Benetako lanen jatorrizko izenburuak ez dira ezagutzen, eta aipatzen dituzten antzinako egileek emandako informazioa ez da oso fidagarritzat jotzen. Ziurtasun bakarra da musika eta matematika tratatzen zirela. Idatzietako baten aburuz, Zientziei buruz izenburua aldaera ezberdinetan ematen da: Perí mathematikón, Perí mathemáton, Peri mathematikés. Beste bat -edo, agian, Zientziei buruzkoaren zati bat- baliteke Harmonikoak izenburua izatea. Beste obra bat, ustez Tratatuak (diatribaí) izenburua duena, beharbada, etikari oinarri zientifiko bat emateko saiakera bat zen. Baliteke Arkitasek kosmologiari, biologiari, makinariari eta nekazaritzari buruzko idatziak ere idatzi izana.

Filosofia

Arkitas Sokratesen garaikide gaztea izan zen, eta hura baino hainbat hamarkada gehiago bizi izan zen. Presokratikoen artean sartzen da oraindik filosofia sokratikoaren eraginpean ez zegoen tradizio zaharrago batekoa zelako. Sailkapen horrek arazoak ditu hala ere, bere lanak Sokrates hil ondoren idatziak izan zirelako.

Arkitasek zenbakien zientzia, logistiké deitzen zuena, zientzien oinarritzat hartzen zuen, eta geometriaren gainetik zuen nagusitasuna ere nabarmentzen zuen. Matematikarekiko zuen estimu handian bat zetorren Platonekin. Hala ere, Platonek matematikaren ikasketan filosofia ikasteko prestakuntza bat besterik ikusten ez bazuen eta hezkuntzaz zuen ikuskerak errealitatearen ulermen intelektual hutsa iradokitzen bazuen ere, Arkitas ez zetorren bat Platonek enpirismoarekiko zuen mespretxuarekin, eta, intelektualki, ezagunaren eta sentigarriaren eremuen arteko erabateko bereizketa platonikoa ere ez zuen egiten. Haren ustez, aritmetika ere, garrantzitsua zen ikuspegi politikotik, herritarren artean jabetzaren banaketa adostu eta orekatu baterako formula txalogarriak aurkitzeko aukera eskaintzen zuela zirudielako. Formula horien aplikazioa guztiontzat egiaztagarria zenez, Arkitasen ustearen arabera, bake soziala ezarri eta gorde zezakeen. Horrek berebiziko garrantzia zuen Greziako hirietan, sarritan botere borroka odoltsuek astinduak. Klase sozialen arteko oreka, gatazka bortitzak ekidin behar zituena (stáseisa hiritarrengan), zen Arkitasen kezka nagusia. Berak kalkulu egoki eta zuzena (logismos) egitea espero zuen, eta horrek argi eta garbi ziurtatzen zuen inor ez zela gehiegikeriaz arituko.

Bruno Snell-ek adierazten du máthema hitzaren esanahi aldaketa, oinarrizko esanahiaren arabera ikasten dena edo ikas daitekeena adierazten duena. Zientziaren izendapen gisa, adierazpen hori Arkitasen aurkitu zen lehen aldiz. Tarentoko filosofoarentzat, matematika zen ezagutzaren eremu zentrala, baina, geometria eta aritmetikaz gain, astronomia eta musika ere mathmataei zegozkien. Arkitasek sistered deitzen zien lau zientzia horiei. Geroago baino ez zen esanahi-eremua matematikari murriztu, zeren, zentzu propioan, matematikek bakarrik ziruditen zientzia bat, bada, haiek bakarrik betetzen baitzuten, antza denez, zientzia baten objektuek ziurtasun osoz ezagutzeko modukoak izan behar dutelako baldintza.

Dirudienez, Arkitasek zientziaren filosofia bat garatu zuen doktrina gisa, non bilaketa egokiaren artea —ikuspegi zientifikoa— arrakastarako oinarrizko baldintza gisa tratatzen baitzuen.​ Erkenntnistheoretische baikorra zuen; bere ustearen arabera, aurkikuntzak errazak dira metodo egokia izanez gero.​ Bere metodoaren xehetasunak jakitea zaila da, iturrien egoera txarra dela eta. Iraun duena bere printzipioa da, hots, lehenik osotasunaren izaerari buruz bereizketa onak egin behar direla; behin hori lortuta, ongi uler daiteke objektu indibidualen izaera. Ondorioz, ezagutza zientifikoa orokorrenetik espezifikoenera doa. Iturrien informazio urritik abiatuta, ez da argi geratzen zeri buruz ari zen zehazki osoekin, zientzia jakin baten kontzeptu orokor gisa.​ Nolanahi ere, Arkitas sinetsita zegoen norberak eginak aurkitzea hobea zela aurretik jakina zena onartzea baino. Norberak deskubritzen zuena zerbait propioa zen (ídion); ikasten lortzen zen ezagutza multzoa, berriz, arrotza zen.

Etikan, Arkitasek garrantzi berezia ematen zion beti arrazoiaren arabera jokatzeko eskakizunari, eta inoiz ez, espontaneoki, amorruz edo desirei jarraituz jokatzea edo burua lausotzen uztearen eskakizunari.

Kosmologia

Arkitas astronomo ere izan zela dioen tradizioa Horazio eta Propertzio poeta erromatarren garaikoa da, zeinek, ziur aski, ez zuten horri buruzko informazio fidagarririk. Benetakoa eta ospetsua da, hala ere, unibertsoaren infinitutasunaren aldeko argumentua. Esperimentu mental bat da, eta honela dio: Unibertsoaren ustezko mutur batera iritsitako norbaitek eskua edo makila luzatuko balu, gorputz batekin edo espazio hutsarekin topo egingo luke, hau da, edozein kasutan, unibertsoaren jarraipen batekin. Kosmosa, beraz, infinituki hedatzen da. Ideia hori estoatarrek eta epikureotarrek berreskuratu eta aldatu zuten; baita John Lockek eta Isaac Newtonek ere.

Matematikak

Irrazionaltasuna

Arkitas $(n+1):n$ arrazoiez arduratzen zen, garai hartako espresioan «superproportzionalak» deituak. $a:b$ erlazioetan, $a$-ren eta $b$-ren arteko soberakina $b$-ren enegarren partea da, eta, orduan, $a:b=(n+1):n$ betetzen da.​ Arkitasek teoremaren froga bat aurkitu zuen: «Bi zenbakiren artean, erlazio superproportzionalean, inoiz ezin dira batez besteko proportzionalak aurkitu (batez beste geometrikoa)». Horrek esan nahi du, gaur egungo terminologian, zenbaki arrazionalen zatidura gisa adierazi ezin diren magnitudeen zatiduran irrazionalak daudela (zenbaki zatikiarrak). ${\sqrt {(n+1):n}}$ erro karratua irrazionala da.

Arkitasen kurba

Arkitasen kurba

Kuboa tolesteko prozesua.

Hipokrates Kioskoak lortu zuen kuboa bikoizteko problema arrazoi arazo batera murriztea: Nahikoa zen $a$ (tolestu beharreko kuboaren ertzerako) distantziarako, $u$ eta $v$ distantziak arrazoian egoteko moduan aurkitzea –hau da, geometrikoki egitea–. Orduan, hau da:

$\left({\frac {a}{u}}\right)^{3}={\frac {a}{u}}\times {\frac {u}{v}}\times {\frac {v}{2a}}={\frac {a}{2a}}={\frac {1}{2}}.$

Beraz, $2\times a^{3}=u^{3}$ dugu, eta $u$ ertza duen kuboa, nahi genuen moduan, ertza duen kuboaren bikoizketa da.

Hala ere, Hipokratesek ez zuen lortu $u$ eta $v$ eraikitzea $a$ eta $b$ distantzia jakinetarako, $a:u=u:v=v:b$ betetzeko moduan, ezta hemen bakarrik behar den $b=2a$ kasu berezirako ere. Horixe egiten saiatu ziren geroko jakintsu zaharrak. Eutocio matematikari zaharrak, Arkimedesen Peri sphaíras kai kylindrou tratatuari egindako iruzkinean (Esferaren eta zilindroari buruz), hamabi irtenbide eman zituen. Lehenengoa eta onena Arkitasena da. Arkitasen izena daraman kurbaren laguntzaz lortu zuen. Matematikaren historian erabili den lehen kurba da –alegia, ezein planotan ageri ez dena–. Hiru gainazal kurbatuko ebakidura bat aurkitzeko erabiltzen den eraikuntza bakarra da antzinako matematikan, eta bereziki harrigarria da matematikaren historiaren etapa goiztiar honetarako. Hala ere, ikerketa garaikidean, modu nabarmenean onartzen da Arkitasekin sortu zela.

Arkitasek hiru solidoren gainazalak erabili zituen soluzioa egiteko: toru bat, zilindro bat eta kono bat. Behar bezala aukeratutako koordenatu kartesiarrak erabiliz egindako irudikapen modernoan, gainazal horietako bakoitza ekuazio hauetako batek ematen du:

${\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\x^{2}+y^{2}=ax\\x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}x^{2}\end{matrix}}$

Toroide eta zilindroa elkar ebakitzen dute arkietaren kurban. Kurba horren eta konoaren arteko $P$ ebakidura hiru ekuazioak betetzen dituen puntu bat da. Beraz, honako hau aplikatzen zaio, gehiegi laburtuz gero:

$u={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$  y  $v={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

honela idazten da:

$\left\{{\begin{matrix}u^{2}=av\\v^{2}=ax\\u^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}x^{2}\end{matrix}}\right.$

Lehenengo ekuazioak $a:u=u:v$ dio. Baldin eta bigarren ekuazioaren araberako $v^{2}$ baliokidea hirugarren ekuazioan erabiltzen bada $ax$-rako, erroa erauzi eta bihurketa egin ondorengo emaitza $u:v=v:b$ da. Beraz, oro har, $a:u=u:v=v:b$ erlazio desiratua betetzen da. $P$-tik koordenatu-jatorrirainoko distantziak $u$ luzera du; horrela sartu zen $u$. Beraz, $b=2a$ kasuan, kubo tolestuaren ertza da. Stephen Menn-ek Arkitasen prozeduraren berreraikitze bat eman zuen.​ Eraikuntzak ez du arrakastarik konpasak eta erregelak bakarrik erabil badaitezke; hala ere, baldintza hori Greziako matematiketan bakarrik Arkitasen ondoren ezarri zen.