Geometrické zobrazení

Geometrické zobrazení je zobrazení (funkce) mezi množinami bodů, typicky $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, které každému bodu přiřazuje právě jeden bod.

V případě zobrazení v rovině přiřazuje každému bodu roviny právě jeden bod téže roviny.

Bod $A$ se nazývá vzor a bod $A^{\prime }$ jeho obraz. Bod, pro který platí $A=A^{\prime }$, se nazývá pevný bod.

Vlastnosti a příklady zobrazení

Přiřazení bodů lze formálně zapsat jako $f(A)=A^{\prime }$. Obecně neplatí, že z $f(A)=A^{\prime }$ plyne $f(A^{\prime })=A$.

Příklady geometrických zobrazení:

• identita – zobrazení, které každý bod ponechá beze změny,
• konstantní zobrazení – všem bodům přiřazuje jeden pevně daný bod,
• zobrazení, které pootočí body uvnitř dané oblasti (např. kruhu) a ostatní body ponechá beze změny,
• zobrazení dané předpisem v souřadnicích, např. $[a,b]\mapsto [a^{2}+b,\log |b|]$.

Klasifikace geometrických zobrazení

Podle zachovávaných vlastností

Podle vlastností, které se při geometrickém zobrazení zachovávají, lze zobrazení rozdělit na:

• shodné zobrazení – zachovává vzdálenosti (a tedy i tvar a velikost); patří sem např. posunutí a rotace,
• podobné zobrazení – zachovává tvar, nikoli nutně velikost; např. stejnolehlost,
• afinní zobrazení – zachovává rovnoběžnost přímek,
• projektivní zobrazení – zachovává kolineárnost bodů,
• topologické zobrazení – zachovává topologické vlastnosti (např. spojitost).

Podle dimenze prostoru

Geometrická zobrazení lze také rozdělit podle dimenze prostoru, v němž jsou definována, a podle toho, zda mají vzor a obraz stejnou dimenzi.

Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné

• zobrazení na přímce,
• zobrazení v rovině,
• zobrazení v prostoru,
• vícerozměrná zobrazení.

Dimenze vzoru a obrazu jsou různé

• např. projektivní zobrazení, která zahrnují metody jako rovnoběžné promítání, axonometrie nebo perspektiva, používané např. v deskriptivní geometrii.

Samodružný (pevný) bod

Bod $X$ se nazývá samodružný (též pevný bod), pokud se při zobrazení nezmění, tj. $f(X)=X$.

Například:

• při osové souměrnosti jsou samodružné všechny body ležící na ose souměrnosti,
• při rotaci je samodružným bodem střed otáčení,
• při posunutí nemá zobrazení žádný samodružný bod (pokud nejde o identitu).

Invariantní množina

Množina bodů $M$ se nazývá invariantní, jestliže se jako celek zobrazí sama na sebe, tj. $f(M)=M$.

Invariantní množina nemusí být tvořena pouze samodružnými body; její jednotlivé body se mohou vzájemně zobrazovat jeden na druhý.

Samodružná přímka

Rozlišují se dva případy:

• bodově samodružná přímka – každý její bod je samodružný, tj. pro každý bod $X\in p$ platí $f(X)=X$; příkladem je osa osové souměrnosti,
• invariantní přímka – přímka se jako celek zobrazí sama na sebe, ale její body se obecně zobrazují na jiné body téže přímky; příkladem je přímka kolmá k ose při osové souměrnosti nebo přímka procházející středem stejnolehlosti.

Involutorní zobrazení

Má-li zobrazení vlastnost, že pro dvojici bodů $A,B$ platí $f(A)=B$ a současně $f(B)=A$, tvoří body $A,B$ involutorní dvojici.

Zobrazení, které není identita a při němž každý bod patří do involutorní dvojice, se nazývá involutorní zobrazení (involuce).

Složení involuce se sebou samou dává identitu. Příkladem jsou souměrnosti v rovině a prostoru, např. zrcadlení.

Reference

Související články

• Zobrazení (matematika)
• Geometrie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu transformace souřadnic na Wikimedia Commons

Portály: Matematika