Kalkulong integral

Ang laguming tayahan o kalkulong integral (Ingles: integral calculus) ay isang sangay ng kalkulo na nag-aaral ng integrasyon (pagsasama) at mga paggamit nito, katulad ng paghahanap ng mga bolyum, mga area, at mga solusyon sa mga ekwasyong diperensiyal. Ito ay nakatuon determinasyon o pag-alam (paghanap) ng mga integral. Bilang pag-aaral ng integrasyon at mga paggamit nito, ang mga paggamit na ito ay kinabibilangan ng pagkukwenta ng mga area na nahahangganan ng mga kurba, at mga bolyum na nahahangganan ng mga kalatagan o kaibabawan.

Kasaysayan

Ang unang nadokumentong sistematikong pamamaraang may kakayahang tumukoy ng mga integral ang paraan ng pag-ubos ng sinaunang Griyegong astronomong si Eudoxus(ca. 370 BCE). Ito ay naghangad na humanap ng mga area at bolyum sa pamamagitan ng paghahati ng mga ito sa walang hangganang mga hugis kung saan ang area at bolyum ay alam. Ang paraang ito ay karagdagang pinaunlad at ginamit ni Archimedes noong ika-3 siglo BCE at ginamit upang kwentahin ang mga parabola at ang pagtatantiya ng area ng isang bilog. Ang mga kaparehong paraan ay independiyenteng pinaunlad sa Tsina noong ika-3 siglo CE ni Liu Hui na gumamit nito upang hanapin ang area ng bilog. Ang paraang ito ay kalaunang ginamit noong ika-5 siglo CE ng Tsinong mag-amang matematikong sina Zu Chongzhi at Zu Geng upang hanapin ang bolyum ng isang spero. Ang sumunod na mahalagang mga pagsulong sa kalkulong integral ay hindi nagsimula hanggang sa ika-16 siglo. Sa panahong ito, ang akda ni Bonaventura Cavalieri sa kanyang paraan ng mga hindi mahahati at akda ni Pierre de Fermat ay nagsimulang maglatag ng mga pundasyon ng modernong kalkulo. Ang mga karagdagang hakbang ay nagawa noong simulang ika-17 siglo nina Barrow at Torricelli na nagbigay ng unang mga pagpapahiwatig ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperesiasyon. Si Barrow ay nagbigay ng unang patunay ng pundamental na teorema ng kalkulo. Nilahat ni Wallis ang paraan ni Cavalieri na kumwenta ng mga integral ng x sa isang pangkalahatang kapangyarihan kabilang ang mga negatibong kapangyarihan at mga praksiyonal na kapangyarihan. Ang pangunahing pagsulong sa integrasyon ay dumating noong ika-17 siglo sa independiyenteng pagkakatuklas ng pundamental na teorema ng kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Wilhelm Leibniz. Ang teoremang ito ay nagpapakita ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperensiasyon. Ang balangkas na ito ay kalaunang naging modernong kalkulo na ang notasyon para sa mga integral ay direktang hinango mula sa akda ni Leibniz. Bagaman sina Newton at Leibniz ay nagbigay ng isang sistematikong pakikitungo sa integrasyon, ang kanilang mga akda ay nagkukulang sa isang digri ng matematikal rigor. Inatake ni George Berkeley ang mga naglalahong inkrementong ginamit ni Newton na tinawag ang mga itong "mga multo ng naglahong mga kantidad". Ang kalkulo ay nagkamit ng isang mas matatag na saligan sa pagpapaunlad ng mga hangganan. Ang integrasyon ay unang rigorosong matematikal na pinormalisa ni Bernhard Riemann gamit ang mga hangganan. Si Henri Lebesgue ay nagpormula ng isang ibang depinisyon ng integral na itinatag sa teoriya ng sukat. Ang iba pang mga depinisyon ay iminungkahi rin.

Introduksiyon

Aproksimasyon ng area ng kurbang √x mula 0 hanggang 1,■ gamit ang limang parihaba at ■ labilandalawang parihaba

Ang integral ang hangganan ng mga sumang kinwenta sa isang proseso kung saan ang sakop ng isang punsiyon ay hinahati sa maliliit na mga subset at ang isang posibleng nominal na halaga ng punsiyon sa bawat subset ay pinaparami ng sukat ng subset na ito at ang lahat ng mga produktong ito ay sinusuma. Ang depinidong integral ay mapapakahulugan bilang ang area o ang paglalahat ng isang area. Ang indepinidong integral ay tumutukoy sa nosyon ng antideribatibo ng isang punsiyong F na ang deribatibo ang ibinigay na punsiyong f. Ang unang pundamental na teorema ng kalkulo ay pumapayag sa depinidong integral na makwenta sa mga termino ng indepinidong integral. Ang integral ay naisip ng mga tagapagtatag ng kalkulo bilang walang hangganang suma ng mga parihaba ng lapad na inpinitesimal. Ang isang rigorosong matematikal na depinisyon ng integral ay ibinigay ni Bernhard Riemann batay sa isang may hangganang paraan na nagtatantiya ng area ng isang rehiyong kurbilinyar sa pamamagitan ng paghahati ng rehiyon sa maninipis na patayong piraso. Ang ideya ay ang pagpapadami ng bilang ng mga parihaba tungo sa inpinidad sa pamamagitan ng pagkuha ng hangganan habang ang lapad ng parihaba ay papalapit sa sero. Simula ika-19 siglo, ang mas sopistikadong mga nosyon ng integral ay nagsimulang lumitaw kung saan ang punsiyon gayundin ang sakop kung saan ang integrasyon ay isinsasagawa ay nilahat.

Upang maintindihan ang konseptong ito, tingnan ang kurba sa larawan sa kanan na y = f(x) sa pagitan ng x = 0 at x = 1, kung saan ang punsiyon ay inililalarawan ng f(x) = √x. Ang area na pagitan ng 0 hanggang 1 ang integral ng f. Ang notasyon ng integral na ito ay:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.$

Sa unang aproksimasyon gamit ang mga parihabang kulay kahel, ang suma (sum) ng mga area ng mga parihabang ito ay eksaktong 1. Ang tunay na halaga ng area ng kurba na ito ay mas maliit sa 1. Kung pararamihin ang mga parihaba sa loob ng kurba gaya ng mga parihabang kulay berde, mas makakamit ang mas mabuting aproksimasyon. Kung susumahin ang mga area ng mga parihabang kulay berde, ang resulta ay mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba:

$\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497\,\!$

Upang kwentahin ang area ng kurba gamit ang operasyong integrasyon: Una, kailangang hanapin ang antideribatibo(integral) ng punsiyong ating nilulutas na: f(x) = √x. Ang antideribatibo ay: F(x) = ²⁄₃x^3/2. Ngayon isubtrak ang halaga ng F(1) sa halaga ng F(0), kung saan ang 0 at 1 ang mga hangganan ng kurba. Ang "eksaktong" area ng kurbang √x ay:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=F(1)-F(0)=0.666666667$

Mga pormal na depinisyon

Maraming mga paraan ng pormal na paglalarawan ng integral. Ang mga pagkakaiba ay umiiral upang pakitunguhan ang iba't ibang mga espesyal na kaso na hindi maiintegrado sa ilalim ng ibang mga depinisyon ngunit minsan ay para sa mga dahilan pedagogikal. Ang pinakakaraniwang ginagamit na depinisyon ng integral ang mga integral na Riemann at integral na Lebesgue.

Integral na Riemann

Pangunahing artikulo: Integral na Riemann

Integral bilang sumang Riemann batay sa may tandang partisyon na may hindi pantay pantay na posisyon at haba(nasa pula). Ang resultang aproksimasyon ay 3.648. Ang tunay na halaga ng area ng punsiyon ay 3.76

Ang integral na Riemann ay inilalarawan sa mga termino ng sumang Riemann ng mga punsiyon sa respeto ng may mga tandang(tagged) partisyon(bahagi) ng interbal. Itakda ang [a,b] na isang saradong interbal ng real na linya. Sa gayon, ang mga may tandang partisyon ng [a,b] ay isang may hangganang sekwensiya(finite sequence)

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

Mga sumang Riemann na nagtatagpo habang ang mga interbal ay hinahati kahit ang sampol ng bilang ay ■ kanan, ■ minimum, ■ maximum, o ■ kaliwa.

Ang interbal na [a,b] ay hinahati sa n na mga sub-interbal(mas maliliit na interbal) na [x_i-1, x_i] na may indeks i at ang bawat sub-interbal ay nilagyan ng "tanda" (tagged) na isang puntong t_i∈[x_i-1, x_i]. Ang sumang Riemann (Riemann sum) ng isang punsiyong f sa respeto ng mga may tandang partisyon ay inilalarawan na:

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};$

kaya ang bawat termino ng sum ang area ng isang parihaba na may taas na katumbas ng halaga ng punsiyon sa natatanging punto ng ibinigay ng subinterbal at ang lapad ay pareho sa lapad ng subinterbal. Itakda ang Δ_i = x_i−x_i−1 na maging lapat ng subinterbal na i i; kung gayon ang mesh ng gayong may tandang partisyon ang lapad ng pinakamalaking subinterbal na nabubuo ng partisyon max_i=1…n Δ_i. Ang Riemann integral ng isang punsiyong f sa ibabaw ng interbal na [a,b] ay katumbas sa S kung:

Para sa lahat ng ε > 0 may umiiral na δ > 0 na sa bawat anumang may tandang partisyong [a,b] na may mesh na mas maliit sa δ, mayroong

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

Kapag ang napiling mga tanda ay nagbibigay ng maksimum(o minimum) na halaga ng bawat interbal, ang sumang Riemann ay nagiging itaas(o mababa) na sumang Darboux na nagmumungkahi ng malapit na ugnayan sa pagitan ng integral na Riemann at integral na Darboux. Ang kakulangan sa pagsalalay ng integral ni Riemann sa mga interbal at pagkakatuloy tuloy ay nagtulak sa mas bagong mga depinisyon lalo na ang integral na Lebesgue.

Integral na Lebesgue

Pangunahing artikulo: Integral na Lebesgue

Integrasyong Riemann-Darboux (asul) at integrasyong Lebesgue (pula).

Ang integral na Riemann ay hindi inilalarawan sa napalaking bilang ng mga punsiyon at sitwasyon na mahalaga sa mga aplikasyon. Halimbawa, ang integral na Riemann ay madaling maiintegrado ang densidad upang mahanap ang masa ng bakal na barakilan(steel beam) ngunit hindi nito masasama ang bakal na bolang nakalapag dito. Eto ang nagmomotibo sa ibang mga depinisyon kung saan ang mga malalawak na uri ng punsiyon ay maiintegrado. Ang integral na Lebesgue sa partikular ay nagkakamit ng malaking pleksibilidad sa pamamagitan ng pagbibigay atensiyon sa mga timbang ng tinimbang na sum(sum).

Ang depinisyon ng integral na Lebesgue ay nasisimula sa isang sukat(measure) na μ. Sa pinakasimpleng kaso, ang sukat na Lebesgue(Lebesgue measure)(A) ng interbal na A = [a,b] ang haba nito na b − a kaya ang integral na Lebesgue ay umaayon sa (angkop o proper) na integral na Riemann kung pareho itong umiiral. Sa mga mas komplikadong mga kaso, ang mga pangkat (sets) na sinusukat ay maaaring watak watak na walang kontinuidad at walang pagkakahawig sa mga interbal.

Upang magamit ang pleksibiliad na ito, ang mga integral na Lebesgue ay nagbabaliktad ng paraan ng mga tininbangang suma. Ayon kay Folland, "upang makwenta ang integral na Riemann ng f, ang sakop(domain) na [a,b] ay pinapartisyon sa mga sub-interbal" samantalang sa integral na Lebesgue, "ang range ng f ay sa esensiya pinapartisyon".

Ang isang karaniwang paaran ay paglalarawan ng integral ng punsiyong indikador ng nasusukat na pangkat na A sa pamamagitan ng:

$\int 1_{A}d\mu =\mu (A)$.

Eto ay lumalawig sa pamamagitan ng linyaridad sa masusukat na simpleng punsiyong s na nagkakamit lamang ng may hangganang bilang na n na mga natatanging hindi negatibong mga halaga:

${\begin{aligned}\int s\,d\mu &{}=\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)d\mu \\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,d\mu \\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})\end{aligned}}$

(kung saan ang imahe ng A_i sa ilalim ng simpleng punsiyong s ang konstanteng halagang a_i). Samakatuwid, kung ang E ay isang masusukat na pangkat, maglalarawan tayo ng:

$\int _{E}s\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i}\cap E).$

Pagkatapos, para sa anumang mga hindi negatibong masusukat na punsiyon na f, tayo ay maglalarawan:

$\int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{E}s\,d\mu \,\colon 0\leq s\leq f{\text{ and }}s{\text{ is a simple function}}\right\};$

na ang ibig sabihin ang integral ng f ay itinakdang supremum ng lahat ng mga integral ng mga simpleng punsiyon na mas maliit o katumbas ng f.

Ang isang pangkalahatang masusukat na punsiyong f ay hahatiin sa mga positibo at negatibong mga halaga sa pamamagitan ng paglalarawan ng:

${\begin{aligned}f^{+}(x)&{}={\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&{}={\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

ang f ay maiintegradong Lebesgue kung ang:

$\int _{E}|f|\,d\mu <\infty ,\,\!$

sa gayon, ang integral ay inilalarawan ng:

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu .\,\!$

Kung ang sukat na espasyo kung saan ang mga punsiyon ay inilalarawan ay isa ring lokal na siksik na espayong topolohikal(tulad ng sa kaso ng real na mg bilang na R), ang mga sukat na umaayon sa topolohiya sa isang nararapat na kahulugan(mga sukat na Radon na ang sukat na Lebesgue ang isa sa mga halimbawa nito) at ang integral sa respeto nito ay maaaring ilarawan ng magkaiba mula sa mga integral ng tuloy tuloy na punsiyon na may siksik na suporta. Sa mas tiyak na kahulugan, ang siksik na sinusuportahang punsiyon ay bumubuo ng isang espasyong bektor na may dalang isang natural na topolohiya at ang isang sukat(Radon) ay maaaring ilarawan na anumang tuloy tuloy na linyar na punsiyonal sa espasyong ito. Ang halaga ng sukat sa isang siksik na sinusuportahang punsiyon ay sa depinisyon rin ang integral ng punsiyon. Pagkatapos, atin nang itutuloy na palawigin ang sukat(ang integral) sa mas pangkalahatang mga punsiyon sa pamamagitan ng kontinuidad at ilarawan ang sukat ng isang pangkat bilang integral ng punsiyong indikador nito.

Iba pang mga integral

Bagaman ang mga integral na Riemann at Lebesgue ang pinakamalawakang ginagamit na depinisyon ng integral, may ilan pang integral na umiiral kabilang ang:

• Integral na Riemann–Stieltjes integral na isang ekstensiyon ng integral na Rimeann.
• Integral na Lebesgue-Stieltjes, na karagdagang pinaunland ni Johann Radon na lumalahat sa mga integral na Riemann–Stieltjes at Lebesgue integrals.
• Integral na Daniell na sumasakop sa integral na Lebesgue at integral na Lebesgue-Stieltjes na hindi nakabatay sa mga sukat. i
• Integral na Henstock-Kurzweil integral na iba ibang inilarawan nina Arnaud Denjoy, Oskar Perron,(pinaka elegante bilang integral na gauge), Jaroslav Kurzweil, at pinaunlad ni Ralph Henstock.
• Integral na Itō at Stratonovich na naglalarawan ng integrasyon sa respeto ng mga semimartingale gaya ng Galaw Brownian.
• Integral na Youn na isang uri ng Riemann-Stieltjes sa respeto sa ilang mga punsiyon ng walang hangganang bariasyon(unbounded variation).
• Integral na magaspang na landas na inilalarawan para sa mga punsiyon na may karagdagang "magaspang na landas" na estruktura at lumalahat sa integrasyong stokastiko laban sa parehong semimartingale at mga proseso gaya ng praksiyonal na Galaw Brownian.

Mga katangian

Linyaridad

• Ang koleksiyon ng maiintegradong Riemann na punsiyon sa isang saradong interbal na [a, b] ay bumubuo ng isang espasyong bektor sa ilalim ng mga operasyong adisyong pointwise at multiplikasyon ng skalar at ng operasyon ng integrasyon

$f\mapsto \int _{a}^{b}f\;dx$

ay isang linyar na punsiyonal sa epasyong bektor na ito. Kaya, una, ang koleksiyon ng mga maiintegradong mga punsiyon ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga kombinasyong linyar at ikalawa, ang integral ng mga linyar na kombinasyon ang linyar na kombinasyon ng mga integral,

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$

• Gayundin, ang pangkat ng mga halagang real na bilang na mga maiintegrado ng Lebesgue na mga punsiyon sa isang ibinigay na sukat na E na may sukat na μ ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga linyar na kombinasyon at kaya ito ay bumubuo ng isang espasyong bektor at ang integral na Lebesgue ay:

$f\mapsto \int _{E}fd\mu$

ay isang linyar na punsiyonal sa espasyong bektor na ito, upang ang:

$\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .$

• Sa mas pangkalahatan, tingnan ang espasyong bektor ng lahat ng mga masusukat na punsiyon sa isang espasyong sukat na (E,μ) na kukunin ang mga halaga sa isang lokal na sisksik na kumpletong topolohikal na bektor na espasyong V sa ibabaw ng isang lokal na siksik na topolohikal na field na K, f : E → V. Kung gayon, maaaring maglarawan ng isang abstraktong integrasyong mapa na magtatakda sa bawat punsiyong f ng isang elemento ng V o ang simbolong ∞,

$f\mapsto \int _{E}fd\mu ,\,$

na umaayon sa mga linyar na kombinasyon. Sa sitwasyong ito, ang linyaridad ay totoo para sa mga subespasyo ng mga punsiyon na ang integral ay isang elemento ng V (i.e. may hangganan). Ang pinakamahalagang mga kaso ay lumilitaw kung ang K ay R, C, o isang may hangganang ekstensiyon ng field na Q_p ng mga bilang na p-adic, at ang V ay isang may hangganang dimensiyonal na espasyong bektor sa ibabaw ng K at kung ang K=C at V ay isang kompleks na espasyong Hilbert.

Ang linyaridad kasama ng ilang natural na kontinuidad na mga katangian at normalisasyon para sa mga ilang klase ng mga "simpleng" punsiyon ay maaaring gamitin upang magbigay ng alternatibong depinisyon ng integral. Eto ang paraan ng Integral na Daniell para sa kaso ng mga may halagang real na bilang na mga punsiyon sa isang pangkat na X na nilahat ni Nicolas Bourbaki sa mga punsiyong may mga halagang sa isang lokal na siksik na topolohikal na espasyong bektor.

Mga inekwalidad para sa mga integral

Ang ilang mga pangkalahatang inekwalidad ay totoo para sa maiitengradong Riemman na mga punsiyon na inilalarawan sa isang sarado(closed) at may hangganang(bounded) interbal na [a, b] at maaaring lahatin sa ibang mga nosyon ng integral gaya ng Lebesgue and Daniell.

• Taas ang babang mga hangganan(bounds) Ang isang maiintegradong punsiyong f sa [a, b] ay hindi maiiwasang may hangganan sa interbal na ito. Samakatuwid, may mga real na bilang na m at M upang ang m ≤ f (x) ≤ M para sa lahat ng x sa [a, b]. Dahil sa ang baba(lower) at taas(upper) na suma ng f sa ibabaw ng [a, b] ay tinatakdaan ng(o may hangganan na) m(b − a) at M(b − a), mauunawaan na:

$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).$

• Mga inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon. Kung ang f(x) ≤ g(x) para sa bawat x sa [a, b], kung gayon ang bawat taas(upper) at baba(lower) na mga suma ng f ay tinatakdaan(bounded) sa itaas ng taas at babang mga suma ng g. Kaya ang:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Ito ay paglalahat ng nasa taas na mga inekwalidad dahil ang TM(b − a) ang integral ng konstanteng punsiyon na may halagang M sa ibabaw ng [a, b].

Sa karagdagan, kung ang inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon ay mahigpit, ang inekwalidad sa pagitan ng mga integral ay mahigpit din. Ang ibig sabihin, kung ang f(x) < g(x) sa bawat x sa [a, b], kung gayon

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

• Mga Subinterbal. Kung ang [c, d] ay isang subinterbal ng [a, b] at ang f(x) ay hindi negatibo para sa lahat ng x, kung gayon:

$\int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

• Mga Produkto at mga absolutong halaga ng mga punsiyon. Kung ang f at g ay dalawang punsiyon, kung gayon maaari nating ikonsidera ang kanilang mga produktong pointwise at mga kapangyarihan at mga absolutong halaga:

$(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.\,$

Kung ang f ay maiintegradong Riemann sa [a, b], kung gayon ito ay totoo rin sa |f|, at

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.$

Sa karagdagan, kung ang f at g ay parehong maiintegradong Riemman, kung gayon ang f ², g ², at fg ay maiintegradong Riemann din at

$\left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).$

Ang inekwalidad na ito ay tinatawag na inekwalidad na Cauchy–Schwarz na may mahalagang papel na ginagampanan sa teoriya ng espasyong Hilbert kung saan ang kaliwang gilid ay pinapakahulugan bilang panloob ng produktong espasyo ng dalawang maiintegradong kwadradong mga punsiyong f at g sa interbal na [a, b].

• Inekwalidad ni Hölder. Ipagpalagay na ang p at q ay dalawang mga real na bilang at may kondisyong 1 ≤ p, q ≤ ∞ sa 1/p + 1/q = 1, at ang f at g ay dalawang maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang mga punsiyong |f|^p at |g|^q ay maiintegrado rin at ang sumusunod na inekwalidad ni Hölder ay totoo:

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$

For p = q = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality.

• Inekwalidad na Minkowski. Ipagpalagay na ang p ≥ 1 ay isang real na bilang at ang f at g ay mga maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang |f|^p, |g|^p at ang |f + g|^p ay maiintegradong Riemann din at ang sumusunod na inekwalidad na Minkowski ay totoo:

$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Ang analogo ng inekwalidad na ito para sa integral na Lebesgue ay ginagamit sa paglikha ng mga espasyong L^p.

Mga konbensiyon

Sa seksiyong ito, ang f ay isang may halagang real na bilang na maiintegradong Riemann na punsiyon. Ang integral na

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

sa ibabaw ng interbal na [a, b] ay inilalarawan kung ang a < b. Ang ibig sabihin nito, ang taas(upper) at ang babang(lower) mga suma ng punsiyong f ay kinukwenta sa partisyong a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ x_n = b kung saan ang mga halagang x_i ay lumalaki. Sa heometrikal na kahulugan, ito ay naghuhudyat na ang integrasyon ay nagaganap mula "kaliwa hanggang kanana" na kumukwenta sa f sa loob ng mga interbal na [x_i , x_i +1] kung saan ang interbal na may mas mataas na indeks ay nakalagay sa kanan ng isa sa mga mas mababang indeks. Ang mga halagang a at b na mga dulong punto ng interbal ay tinatawag na mga hangganan ng integrasyon ng f. Ang mga integral ay maaari ring ilarawan kung ang a > b:

• Pagbabaliktad ng mga hangganan ng integrasyon. Kung ang a > b, maglarawan ng:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.$

Eto na may a = b ay nagpapahiwatig na

• Ang mga integral sa ibabaw ng mga interbal na may habang sero. Kung ang a ay isang real na bilang, kung gayon ang:

$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.$

Ang unang konbensiyon(convention) ay kinakailangan sa konsiderasyon ng pagkuha ng mga interbal sa ibabaw ng mga subinterbal ng [a, b]. Ang ikalawa ay nagsasaad na ang intergal na kinuha sa ibabaw ng lumiit na interbal o punto ay dapat sero. Ang isang dahilan para sa unang konbensiyon ay ang integrabilidad ng f sa interbal na [a, b] ay nagpapahiwatig na ang f ay maiintegrado sa anumang subinterbal na [c, d], ngunit sa partikular, ang mga integral ay may katangiang:

• Aditibidad ng integrasyon sa mga interbal. Kung ang c ay anumang elemento ng [a, b], kung gayon, ang:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

Sa unang konbensiyon, ang nagreresultang ugnayan ay:

${\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}$

ay kung gayon mabuting inilalarawan para sa anumang siklikong permutasyon ng a, b, at c.

Imbis na tingnan ang nasa taas na mga konbensiyon, maaari ring kuning pananaw na ang integrasyon ay isinasagawa sa mga diperensiyal na mga anyo sa oryented na mga manipoldo lamang. Kung ang M ay isang oryented na m-dimensiyonal na manipoldo, at ang M ang parehong manipoldo na may kabaligtarang oryentasyon at ang ω ay isang m-na anyo, kung gayong meron tayong:

$\int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.$

Ang mga konbensiyong ito ay tumutugon sa pagpapakahulugan ng integrand bilang diperensiyal na anyo na in-integrado sa ibabaw ng isang kadena. Sa teoriyang sukat na salungat dito, pinapakahulugan ang integrand blang punsiyong f sa respeto ng isang sukat(measure) na $\mu ,$ at nag-iintegrado sa ibabaw ng ilalim-na-pangkat (subset) na A, na walang anumang nosyon ng oryentasyon. Isinusulat ang $\textstyle {\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$ upang ipakita ang integrasyon sa ibabaw ng ilalim-na-pangkat na A. Eto ay isang maliit na distinksiyon sa isang dimensiyon ngunit nagiging mas mahirap na mapansin sa mga mas mataas na dimensiyonal na manipoldo.

Pundamental na teorema ng kalkulo

Pangunahing artikulo: