Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание^[1]; о двойном ударении см. примечание^{[K 1]}) — числа вида $a + b i$ , где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $i$ — мнимая единица^[2], то есть число, для которого выполняется равенство: $i^{2} = - 1$ . Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $ℂ$ . Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $a + 0 i$ . Главное свойство $ℂ$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $n$ -й степени ( $n ⩾ 1$ ) имеет $n$ корней. Доказано➤, что система комплексных чисел логически непротиворечива^{[K 2]}.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания➤, умножения➤ и деления➤. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше➤. Удобно представлять комплексные числа $a + b i$ точками на комплексной плоскости➤; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси➤. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней➤. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе➤.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число^[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение $i$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс➤. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году^[4].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в электротехнике, обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других^[5]➤. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы➤.

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число $z = a + b i$ состоит из двух компонентов^[6]:

Величина a называется вещественной частью числа z и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается Re⁡z или Re⁡(z) (от фр. Reel — действительный^[7]). В источниках иногда встречается готический символ^[8]: ℜ⁡(z).
- Если $a = 0$ , то $z$ называется чисто мнимым числом. Вместо $0 + b i$ обычно пишут просто $b i$ . В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках^[9] мнимыми могут называться любые комплексные числа $z = a + b i$ , у которых $b \neq 0$ . Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
Величина b называется мнимой частью числа z и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается Im⁡z или Im⁡(z) (от фр. Imaginaire — мнимый^[7]). В источниках иногда встречается готический символ^[10]: ℑ⁡(z).
- Если $b = 0$ , то $z$ является вещественным числом. Вместо $a + 0 i$ обычно пишут просто $a$ . Например, комплексный ноль $0 + 0 i$ обозначается просто как $0$ .

Противоположным для комплексного числа $z = a + b i$ является число $- z = - a - b i$ . Например, для числа $1 - 2 i$ противоположным будет число $- 1 + 2 i$ .

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из $a < b$ вытекало $a + c < b + c$ , а из $0 < a$ и $0 < b$ вытекало $0 < a b$ ). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно^[6]:

$a + b i = c + d i$ означает, что $a = c$ и $b = d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел^[6]:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

,

(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i

.

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных $u, v, w$ .

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u + v = v + u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u + (v + w) = (u + v) + w$
Свойство нуля	$u + 0 = u$
Свойство противоположного элемента	$u + (- u) = 0$
Выполнение вычитания через сложение	$u - v = u + (- v)$

Умножение

Определение произведения^[6] комплексных чисел $a + b i$ и $c + d i :$

(a + b i) \cdot (c + d i) = a c + b c i + a d i + b d i^{2} = (a c + b d i^{2}) + (b c + a d) i = (a c - b d) + (b c + a d) i .

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных $u, v, w$ .

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u \cdot v = v \cdot u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u \cdot (v \cdot w) = (u \cdot v) \cdot w$
Свойство единицы	$u \cdot 1 = u$
Свойство нуля	$u \cdot 0 = 0$
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	$u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$

Правила для степеней мнимой единицы:

i^{1} = i; i^{2} = - 1; i^{3} = - i; i^{4} = 1; i^{5} = i

и т. д.

То есть для любого целого числа $n$ верна формула $i^{n} = i^{n mod 4}$ , где выражение $n mod 4$ означает получение остатка от деления $n$ на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение $a + b i$ можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

(a + 0 i) + (b + 0 i) \cdot (0 + 1 i) = (a + 0 i) + (0 + b i) = a + b i

.

Деление

Комплексное число $\bar{z} = x - i y$ называется сопряжённым к комплексному числу $z = x + i y$ (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа $a + b i$ , кроме нуля, можно найти обратное к нему^[11] комплексное число $\frac{1}{a + b i}$ . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число $a - b i$ , комплексно сопряжённое знаменателю

\frac{1}{a + b i} = \frac{a - b i}{(a + b i) (a - b i)} = \frac{a - b i}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} i

.

Определим результат деления^[6] комплексного числа $a + b i$ на ненулевое число $c + d i :$

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i

.

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени $n > 0$ с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно $n$ комплексных корней (основная теорема алгебры)^[12].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень $n$ -й степени из ненулевого числа имеет $n$ различных комплексных значений^[13]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного➤.

Замечания

Число $i$ не является единственным числом, квадрат которого равен $- 1$ . Число $- i$ также обладает этим свойством.

Выражение $\sqrt{- 1}$ , ранее часто использовавшееся вместо $i$ , в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как $5 + i \sqrt{3}$ , а не $5 + \sqrt{- 3}$ , несмотря на то, что ранее второй вариант записи считался допустимым^[14]^[15].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

\sqrt{- 3} \cdot \sqrt{- 3} = \sqrt{(- 3) \cdot (- 3)} = \sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3

.

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из $- 3$ определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы^[15]:

(i \sqrt{3}) \cdot (i \sqrt{3}) = {(i \cdot \sqrt{3})}^{2} = i^{2} \cdot {(\sqrt{3})}^{2} = - 3

.

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу $z = x + i y$ соответствует точка плоскости с координатами $(x, y)$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями^[16].

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние $r$ до начала координат (модуль➤) и угол $φ$ радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент➤).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа^[17]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»^[18].

Пример: умножение на $i$ поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на $- i$ радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа $z = x + i y$ обозначается $| z |$ (иногда $r$ или $ρ$ ) и определяется выражением^[17]

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

.

Если $z$ является вещественным числом, то $| z |$ совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных $z, z_{1}, z_{2}$ имеют место следующие свойства модуля^[17]^[19]:

1)

| z | ⩾ 0

, причём

| z | = 0

только при

z = 0

;

2)

| z_{1} + z_{2} | ⩽ | z_{1} | + | z_{2} |

(неравенство треугольника);

3)

| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |

;

4)

| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}

;

5) для пары комплексных чисел

z_{1}

и

z_{2}

модуль их разности

| z_{1} - z_{2} |

равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа

z

связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

- | z | ⩽ Re (z) ⩽ | z |; - | z | ⩽ Im (z) ⩽ | z |; | z | ⩽ | Re (z) | + | Im (z) |

.

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол $φ$ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа $z$ измеряется в радианах и обозначается $Arg (z)$ . Из этого определения следует, что^[17]

tg φ = \frac{y}{x}; \cos φ = \frac{x}{| z |}; \sin φ = \frac{y}{| z |}

.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 π k$ , где $k$ — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение $φ$ , что $- π < φ ⩽ π$ . Главное значение может обозначаться $\arg (z)$ ^[20].

Некоторые свойства аргумента^[19]:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

Arg (\frac{1}{z}) = - Arg (z)

;

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

Arg (z_{1} z_{2}) = Arg (z_{1}) + Arg (z_{2})

;

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

Arg \frac{z_{1}}{z_{2}} = Arg (z_{1}) - Arg (z_{2})

.

Сопряжённые числа

Если комплексное число $z$ равно $x + i y$ , то число $\bar{z} = x - i y$ называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z^{*}$ ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком^[21]:

$| \bar{z} | = | z |; Arg (\bar{z}) = - Arg (z)$ .

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства^[21]:

$z = \bar{z}$ тогда и только тогда, когда $z$ — вещественное число.
$\bar{\bar{z}} = z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z^[19]:

$z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число^[19]:

$z + \bar{z} = 2 Re (z) = 2 x$ .

Другие соотношения^[19]:

$Re z = \frac{z + \bar{z}}{2}; Im z = \frac{z - \bar{z}}{2 i}$ .
$\overline{z_{1} + z_{2}} = {\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}$ ;
$\overline{z_{1} - z_{2}} = {\bar{z}}_{1} - {\bar{z}}_{2}$ ;
$\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = {\bar{z}}_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}$ ;
$\overline{z_{1} / z_{2}} = {\bar{z}}_{1} / {\bar{z}}_{2}$ ;

Или, в общем виде: $\overline{p (z)} = p (\bar{z})$ , где $p (z)$ — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число $z$ является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число $\overline{z}$ тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары^[19].

Пример

Тот факт, что произведение $z \bar{z}$ есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение^[22], например:

\frac{2 + 5 i}{3 - 4 i} = \frac{(2 + 5 i) (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)} = \frac{- 14 + 23 i}{25} = - \frac{14}{25} + \frac{23}{25} i

.

Формы представления комплексного числа

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа $z$ в виде $x + i y$ ; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r = | z |$ и аргумент $φ$ (то есть $x = r \cos φ$ , $y = r \sin φ$ ), то всякое комплексное число $z$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме^[17]:

z = r (\cos φ + i \sin φ)

Для нуля аргумент $φ$ не определён; для ненулевого числа $φ$ определяется с точностью до целого кратного $2 π$ .

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера^[22]:

e^{i φ} = \cos φ + i \sin φ

,

где $e$ — число Эйлера, $\cos$ , $\sin$ — косинус и синус, $e^{i φ}$ — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа^[22]:

z = r e^{i φ}

.

Следствия

(1) Модуль выражения

e^{i φ}

, где число

φ

вещественно, равен 1.

(2)

\cos φ = \frac{e^{i φ} + e^{- i φ}}{2}; \sin φ = \frac{e^{i φ} - e^{- i φ}}{2 i}

— при существенно комплексном аргументе

φ

эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

(3)^[23]

\bar{z} = r e^{- i φ}; r = \sqrt{z \bar{z}}; e^{i φ} = \sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}

.

Пример^[24]. Представим в тригонометрической и показательной форме число $z = - 1 - \sqrt{3} i :$

| z | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2

;

φ = - π + arctg (\frac{- \sqrt{3}}{- 1}) = - π + arctg (\sqrt{3}) = - \frac{2 π}{3}

(поскольку

z

находится в III координатной четверти).

Отсюда:

z = 2 (\cos \frac{- 2 π}{3} + i \sin \frac{- 2 π}{3}) = 2 e^{i \frac{- 2 π}{3}}

.

Формула Муавра и извлечение корней

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид^[13]:

z^{n} = {[r (\cos φ + i \sin φ)]}^{n} = r^{n} (\cos n φ + i \sin n φ)

,

где $r$ — модуль, а $φ$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом $n$ , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$ -й степени из ненулевого комплексного числа^[22]:

\begin{matrix} z^{1 / n} & = {[r (\cos (φ + 2 π k) + i \sin (φ + 2 π k))]}^{1 / n} = \\ = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{φ + 2 π k}{n} + i \sin \frac{φ + 2 π k}{n}), \end{matrix}

где k принимает все целые значения от $k = 0$ до $k = n - 1$ . Это значит, что корни $n$ -й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального $n$ , и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента $φ$ выбрано его главное значение, то значение корня при $k = 0$ называется главным значением корня^[25]. Например, главное значение корня числа $\sqrt[3]{2 + 11 i}$ равно $2 + i$ .

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для $n = 2$ . Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При $b \neq 0$ корнями из числа $a + b i$ является пара чисел: $\pm (c + d i)$ , где^[26]:

c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}}

,

d = sgn (b) \sqrt{\frac{- a + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}}

.

Здесь $sgn$ — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением $c + d i$ в квадрат. Число $c + d i$ является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из $3 + 4 i$ формулы дают два значения: $2 + i; - 2 - i$ .

История

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: $5 + \sqrt{- 15}$ и $5 - \sqrt{- 15}$ . В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»^[27].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение $x^{3} = 15 x + 4$ имеет вещественный корень $x = 4$ , однако по формулам Кардано получаем: $x = \sqrt[3]{2 + 11 i} + \sqrt[3]{2 - 11 i} .$ Бомбелли обнаружил, что $\sqrt[3]{2 \pm 11 i} = 2 \pm i$ , так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел^[27]^[28].

Выражения, представимые в виде $a + b \sqrt{- 1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где $b \neq 0$ , стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты^[27].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)^[29].

Символ $i$ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)^[30]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)^[28]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)^[31].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс^[32]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного^[2]^[33].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения^[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции

Аналитические функции

Комплексная функция одной переменной — это функция $w = f (z)$ , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам $z$ этой области комплексные значения $w$ ^[34]. Примеры:

w = z^{2} + z + 1; w = z + \frac{1}{z}

.

Каждая комплексная функция $w = f (z) = f (x + i y)$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции $u$ , $v$ называются компонентами комплексной функции $f (z)$ . Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных^[34].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль $| w | = | f (z) |$ , то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции^[35].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала^[34], например:

\sin^{2} z + \cos^{2} z = 1; e^{u} \cdot e^{v} = e^{u + v}

.

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль^[34].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными^[36].

Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки $z$ комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути^[37].

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

$w = z + c$ — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки $c$ .
$w = u z$ , где $u$ — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу $u$ ;
$w = \bar{z}$ — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции $w = u z + c$ и $w = u \bar{z} + c$ дают общее выражение для движения на комплексной плоскости^[38].

Другие линейные преобразования^[38]:

$w = r z$ , где $r$ — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом $r$ , если $r > 1$ , или сжатие в $\frac{1}{r}$ раз, если $r < 1$ ;
преобразования $w = a z + b$ и $w = a \bar{z} + b$ , где $a, b$ — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
преобразование $w = a z + b \bar{z} + c$ , где $| a | \neq | b |$ , — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при $| a | = | b |$ преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования^[39]:

w = \frac{a z + b}{c z + d}

.

При этом $a d \neq b c$ (иначе функция $w (z)$ вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности^[40]^[41], в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот^[39].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия $w = 1 / \bar{z}$ , функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[42]:

Три (различные) точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

\frac{z_{1} - z_{3}}{z_{2} - z_{3}}

является вещественным числом.

Четыре (различные) точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение

\frac{z_{1} - z_{3}}{z_{2} - z_{3}} : \frac{z_{1} - z_{4}}{z_{2} - z_{4}}

является вещественным числом.

Если даны три вершины параллелограмма: $z_{1}, z_{2}, z_{3},$ то четвёртая определяется равенством^[43]: $z_{4} = z_{1} - z_{2} + z_{3}$ .

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[44]:

z = u t + v

, где

u, v

— комплексные числа,

u \neq 0, t

— произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми $z = u t + v$ и $z = u^{'} t + v^{'}$ равен $\arg (u^{'} / u)$ . В частности, прямые перпендикулярны, только когда $u^{'} / u$ — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда $u^{'} / u$ есть вещественное число; если при этом $(v^{'} - v) / u$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая $z = u t + v$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение $t = Im \frac{z - v}{u}$ положительно, на другой — отрицательно^[44].

Уравнение окружности с центром $c$ и радиусом $r > 0$ имеет чрезвычайно простой вид: $| z - c | = r$ . Неравенство $| z - c | < r$ описывает внутренность окружности (открытый круг)^[44]. Часто удобна параметрическая форма уравнения^[45]: $z = c + r e^{i φ}$ .

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел $ℂ$ образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел $ℝ$ . Основное алгебраическое свойство $ℂ$ — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что $ℂ$ есть алгебраическое замыкание^[46] поля $ℝ$ .

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность $ℂ$ как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями $ℝ$ — поле комплексных чисел и тело кватернионов^[47].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем $ℝ$ .

Поле $ℂ$ допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте^[48].

Поля $ℝ$ и $ℂ$ — единственные связные локально компактные топологические поля^[49].

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение^[50]^[51].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида $a + b i$ , где $a, b$ — целые числа^[52]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана^[53].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots

Этот ряд сходится только в интервале $(- 1; 1)$ , хотя точки $\pm 1$ не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного $f (z) = \frac{1}{1 + z^{2}}$ , у которой обнаруживаются две особые точки: полюса $\pm i$ . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса^[54].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент^[55]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений^[56]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам^[57].

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа^[58].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)^[59]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии^[60]^[61] и гидродинамике^[62].

Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции. Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты $\hat{x}$ и импульса ${\hat{p}}_{x}$ представляет собой мнимое число:

[\hat{x}, {\hat{p}}_{x}] = \hat{x} {\hat{p}}_{x} - {\hat{p}}_{x} \hat{x} = i ℏ

.

Здесь $ℏ$ — редуцированная постоянная Планка $h$ , то есть $h / 2 π$ (постоянная Дирака)^[63].

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения^[63]. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики»^[64].

Электротехника

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи^[65]. Ввиду того, что традиционно символ $i$ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой $j$ ^[66]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из (t, x)- в (ω, k)-пространство (где t — время, x — координата, ω — угловая частота, k — волновой вектор) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных^[67].

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел $ℂ$ , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел $ℝ$ . А именно, определим $ℂ$ как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие^[68]^[69].

С1: Для всяких комплексных чисел

u, v

определена их сумма

u + v

.

С2: Сложение коммутативно:

u + v = v + u

. Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких

u, v, w

».

С3: Сложение ассоциативно:

(u + v) + w = u + (v + w)

.

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что

u + 0 = u

.

С5: Для всякого комплексного числа

u

существует противоположный ему элемент

- u

такой, что

u + (- u) = 0

.

С6: Для всяких комплексных чисел

u, v

определено их произведение

u v

.

С7: Умножение коммутативно:

u v = v u

.

С8: Умножение ассоциативно:

(u v) w = u (v w)

.

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом:

(u + v) w = u w + v w

.

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что

u \cdot 1 = u

.

С11: Для всякого ненулевого числа

u

существует обратное ему число

u^{'}

такое, что

u \cdot u^{'} = 1

.

С12: Множество комплексных чисел

ℂ

содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел

ℝ

. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой

ℝ

.

С13: Существует элемент

i

(мнимая единица) такой, что

i^{2} + 1 = 0

.

С14 (аксиома минимальности): Пусть

M

— подмножество

ℂ

, которое: содержит

ℝ

и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда

M

совпадает со всем

ℂ

.

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что $ℂ$ образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением $ℝ$ . Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны^[70].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств^[71].

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел^[72].

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара $(a, b)$ будет соответствовать комплексному числу $a + b i$ ^[73].

Далее определим^[72]:

пары $(a, b)$ и $(c, d)$ считаются равными, если $a = c$ и $b = d$ ;
сложение: сумма пар $(a, b)$ и $(c, d)$ определяется как пара $(a + c, b + d)$ ;
умножение: произведение пар $(a, b)$ и $(c, d)$ определяется как пара $(a c - b d, a d + b c)$ .

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения $i^{2} = - 1 :$

(a + b i) (c + d i) = (a + b i) c + (a + b i) d i = a c + b c i + a d i + b d i^{2} = (a c - b d) + i (a d + b c)

.

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами $(a, 0)$ , образующими подполе $ℝ$ , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары $(0, 0)$ и $(1, 0)$ соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара $(0, 1)$ , Квадрат её равен $(- 1, 0)$ , то есть $- 1$ . Любое комплексное число можно записать в виде $(a, b) = (a, 0) (1, 0) + (b, 0) (0, 1) = a (1, 0) + b (0, 1) = a + b i$ .

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой^[72].

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

(\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix})

с обычным матричным сложением и умножением^[2]. Вещественной единице будет соответствовать

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

,

мнимой единице —

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число $x + i y$ является линейным оператором. В базисе $e_{1} = 1, e_{2} = i$ линейный оператор умножения на $x + i y$ представляется указанной выше матрицей, так как^[2]:

(x + i y) \cdot 1 = x \cdot 1 + y \cdot i

;

(x + i y) \cdot i = (- y) \cdot 1 + x \cdot i .

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число^[74].

Модель факторкольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов $ℝ [x]$ с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена $x^{2} + 1$ (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из $ℝ [x]$ мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен $x^{2} + 1$ они дают одинаковые остатки. Например, многочлен $x^{2}$ будет эквивалентен константе $- 1$ , многочлен $x^{3}$ будет эквивалентен $- x$ и т. д.^[75]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен $x^{2} + 1$ неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен $i (x) = x$ , поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен $- 1$ . Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида $a + b x$ (от деления на $x^{2} + 1$ ), который в силу сказанного можно записать как $a + b i$ . Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел^[75].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда^[76].

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома $x^{2} + 1$ с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на $x^{2} + 1$ . В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость $0 / 0$ , в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел $ℚ$ ). Кроме того, любой базис трансцендентности $ℂ$ над $ℚ$ имеет мощность континуум^{[K 3]}. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей^[77]^[78]^{[K 4]}.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание ${\overline{ℚ}}_{p}$ поля $p$ -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако $p$ -адическая норма не является архимедовой^[англ.] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма^[79]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в $p$ -адическом^[79].

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые $i, j, k$ . Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»^[80].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют^[80].

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

Бикватернионы
Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания

Комментарии

↑
Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
- Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
- Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
- Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
- В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
- Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).
↑ При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.
↑ То есть отличается от $ℚ (x_{i}), i \in ℝ$ (поля рациональных функций для набора переменных $x_{i}$ мощности континуум) на алгебраическое расширение
↑ Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.

Использованная литература

↑ Краткий словарь иностранных слов. — 7-е изд. — М.: Русский язык, 1984. — С. 121. — 312 с.
1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.
↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.
↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.
1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.
1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 9.
↑ Real Part . Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
↑ Мнимое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.
↑ Imaginary Part . Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.
↑ История математики, том III, 1972, с. 72.
1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66.
1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition» (недоступная ссылка — история). — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.
1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.
↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.
1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.
1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—185.
1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.
↑ Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 17.
↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.
↑ Weisstein, Eric W. nth Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.
1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.
↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61.
↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.
↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного . Дата обращения: 30 ноября 2017.
↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).
↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.
1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.
↑ Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.
↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.
1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.
1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.
↑ MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии . e-maxx.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 7 мая 2021 года.
↑ Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
↑ Привалов И. И., 1984, с. 43.
↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.
1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.
↑ Числовые системы, 1975, с. 165.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.
↑ Числовые системы, 1975, с. 167.
↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.
↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.
↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.
↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.
↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
↑ Привалов И. И., 1984, с. 14.
↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.
↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. — [Архивировано 21 января 2022 года.]
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.
↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.
↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). — [Архивировано 28 января 2018 года.]
↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System . Дата обращения: 28 января 2018. Архивировано 29 января 2018 года.
↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.
1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
↑ Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. — 1968. — Т. 93. — С. 535—546. — ISSN 0042-1294. — doi:10.3367/UFNr.0094.196803f.0535.
↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.
↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.
↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.
↑ Числовые системы, 1975, с. 166.
↑ Real and Complex Numbers . Дата обращения: 13 февраля 2018. Архивировано 6 февраля 2021 года.
1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.
↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.
1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.
↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Архивная копия от 14 мая 2018 на Wayback Machine.
↑ William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Архивная копия от 13 апреля 2018 на Wayback Machine. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality $ℵ_{1}$ are isomorphic и комментарий после неё.
1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле $Q_{p}$ локально компактно».
1 2 Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865

Литература

Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.
Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.

Ссылки

Глейзер Г.. Комплексные числа (часть 1 из 2) . Журнал «Математика». — № 10 (2001). Дата обращения: 18 апреля 2017.
- (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. — 1982. — № 3.
Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows . Дата обращения: 17 января 2018.
Этьен Жис^[англ.], Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы 5 и 6: Комплексные числа. (рус.)

[2] Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.

Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.

Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.

В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).

Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).

[mwBu0] Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.

[mwBvA] Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.

[mwBvI] Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.

[mwBvQ] В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).

[mwBv0] Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).

[4] При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.

[79] То есть отличается от $ℚ (x_{i}), i \in ℝ$ (поля рациональных функций для набора переменных $x_{i}$ мощности континуум) на алгебраическое расширение

[82] Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.

[1] Краткий словарь иностранных слов. — 7-е изд. — М.: Русский язык, 1984. — С. 121. — 312 с.

[MAT-3] 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.

[_de0c0e98134ba09f-5] Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.

[_6bb67639244e6456-6] Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.

[_22f15a40ebaf308e-7] Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.

[AMA180-8] 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.

[EVGR9-9] 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 9.

[10] Real Part . Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.

[11] Мнимое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.

[12] Imaginary Part . Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.

[AH2-13] Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.

[_72da47e5a1667cba-14] История математики, том III, 1972, с. 72.

[EEM237-15] 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.

[_58a42a1310cd797c-16] История математики, том III, 1972, с. 61—66.

[Bunch-17] 1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition» (недоступная ссылка — история). — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.

[_c90eb4dfc79cefc5-18] Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.

[EEM234-19] 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.

[20] ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.

[AH6-21] 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.

[_7d60d37f8367db4c-22] Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.

[AMA183-23] 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—185.

[AH15-24] 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.

[_38d704c6c768d855-25] Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 17.

[_8fc63c52172a8f19-26] Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.

[27] Weisstein, Eric W. nth Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_a31ccc00339cd6b7-28] Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.

[kline-29] 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.

[ST258-30] 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.

[_3fb46f1bb6bf760a-31] История математики, том III, 1972, с. 57—61.

[32] Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.

[33] Острая О. Теория функций комплексного переменного . Дата обращения: 30 ноября 2017.

[34] Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).

[35] Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.

[SMIR7-36] 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.

[_b23d91c9e955cc32-37] Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.

[_0ebac9000ce4f2ed-38] Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.

[_6d3904618b83caaf-39] Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.

[GP-40] 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.

[EVGR180-41] 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.

[42] MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии . e-maxx.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 7 мая 2021 года.

[43] Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.

[_962c2dcde9cc16f7-44] Привалов И. И., 1984, с. 43.

[_78679e7d5d51319d-45] Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.

[AH17-46] 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.

[_78679e7d5d51319f-47] Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.

[_991406c961cf08d8-48] Числовые системы, 1975, с. 165.

[_c53e3dcbf3a75191-49] Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.

[_991406c961cf08da-50] Числовые системы, 1975, с. 167.

[51] Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.

[_cb7f1ad9bbdfc98b-52] Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.

[_7d9c8d886658b1ee-53] Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.

[_12a29c41c8cc423e-54] Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.

[55] Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.

[_962c2acde9cc119f-56] Привалов И. И., 1984, с. 14.

[57] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.

[58] Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. — [Архивировано 21 января 2022 года.]

[_2ce34b7b99bec552-59] Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.

[_cb00ea7b6190e99d-60] Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.

[_20ce2a7ab8c4dd54-61] Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.

[62] Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). — [Архивировано 28 января 2018 года.]

[63] Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System . Дата обращения: 28 января 2018. Архивировано 29 января 2018 года.

[64] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

[LAND-65] 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.

[66] Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. — 1968. — Т. 93. — С. 535—546. — ISSN 0042-1294. — doi:10.3367/UFNr.0094.196803f.0535.

[_ba4216b4ce09b530-67] Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.

[68] Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.

[69] Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.

[_858ab7dc31a088d1-70] Числовые системы, 1975, с. 164—165.

[_7807e5722adbdc65-71] Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.

[_991406c961cf08db-72] Числовые системы, 1975, с. 166.

[73] Real and Complex Numbers . Дата обращения: 13 февраля 2018. Архивировано 6 февраля 2021 года.

[NECH167-74] 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.

[_3393ccd93e003b69-75] Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.

[76] John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.

[FAD-77] 1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.

[78] F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.

[80] David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Архивная копия от 14 мая 2018 на Wayback Machine.

[81] William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Архивная копия от 13 апреля 2018 на Wayback Machine. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality $ℵ_{1}$ are isomorphic и комментарий после неё.

[ME-83] 1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле $Q_{p}$ локально компактно».

[DICK-84] 1 2 Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865

[1]

[K 1]

[2]

[K 2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[K 3]

[77]

[78]

[K 4]

[79]

[80]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $ℕ$ ) Целые ( $ℤ$ ) Рациональные ( $ℚ$ ) Алгебраические ( $\overline{ℚ}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $ℝ$ ) Комплексные ( $ℂ$ ) Кватернионы ( $ℍ$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $𝕆$ ) Седенионы ( $𝕊$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Гиперболические числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион

Алгебра над кольцом
Размерность — степень 2	Комплексные числа $ℂ$ (разм. 2) Кватернионы $ℍ$ (разм. 4) Числа Кэли/октонионы/октавы $𝕆$ (разм. 8) Седенионы $𝕊$ (разм. 16)
См. также	Теорема Фробениуса Гиперкомплексное число Алгебра Тело Мнимая единица