フラーレンなどの分子の二重スリット干渉実験における分子の内部状態の影響を整理してみたい。
分子の状態は分子の干渉を測定する方向の重心の位置のヒルベルト空間H c \mathcal{H}_c H c H o \mathcal{H}_o H o H c ⊗ H o \mathcal{H}_c \otimes \mathcal{H}_o H c ⊗ H o
H c \mathcal{H}_c H c ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \ket{\psi}\bra{\psi} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣
H o \mathcal{H}_o H o
σ = ∑ i p i ∣ ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i ∣ \sigma = \sum_i p_i \ket{\phi_i}\bra{\phi_i} σ = i ∑ p i ∣ ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i ∣
とする。
デカップリング 必ずしも正確ではないが、H o \mathcal{H}_o H o ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩
分子がスクリーンに到達したときのスリット1を通った干渉を測定する方向の重心の位置の状態を∣ ψ ′ ⟩ \ket{\psi^\prime} ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ψ ′ ′ ⟩ \ket{\psi^{\prime\prime}} ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ⟩ \ket{\phi_i} ∣ ϕ i ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ \ket{\phi_i^\prime} ∣ ϕ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ⟩ \ket{\phi_i} ∣ ϕ i ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime\prime}} ∣ ϕ i ′′ ⟩ ∣ ϕ i ⟩ \ket{\phi_i} ∣ ϕ i ⟩
1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{\psi^\prime}\ket{\phi_i^\prime} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{\psi^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}} 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩
である。これを密度行列で書くと
1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ \frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi^\prime}\bra{\phi_i^\prime} + \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} \\
+ \frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} + \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi^\prime}\bra{\phi_i^\prime} 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣
である。これが確率p i p_i p i
∑ i p i ( 1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ) + ∑ i p i ( 1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ ) \sum_i p_i \left(\frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi^\prime}\bra{\phi_i^\prime} + \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} \right) \\
+\sum_i p_i \left( \frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} + \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi^\prime}\bra{\phi_i^\prime} \right) i ∑ p i ( 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ ) + i ∑ p i ( 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ )
である。内部状態をトレースアウトして、重心位置のみの状態にすると、
ρ c = 1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ + γ e i ϑ 1 2 ∣ ψ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ′ ∣ + γ e − i ϑ 1 2 ∣ ψ ′ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ \rho_c = \frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\bra{\psi^\prime} + \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\bra{\psi^{\prime\prime}}\\[1em]
+\gamma e^{i\vartheta} \frac{1}{2}\ket{\psi^\prime}\bra{\psi^{\prime\prime}}+ \gamma e^{-i\vartheta} \frac{1}{2}\ket{\psi^{\prime\prime}}\bra{\psi^\prime} ρ c = 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣ + 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ + γ e i ϑ 2 1 ∣ ψ ′ ⟩ ⟨ ψ ′′ ∣ + γ e − i ϑ 2 1 ∣ ψ ′′ ⟩ ⟨ ψ ′ ∣
となる。ただし、γ ≥ 0 \gamma \ge 0 γ ≥ 0
γ e i ϑ = ∑ i p i ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ \gamma e^{i\vartheta} = \sum_i p_i \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle γ e i ϑ = i ∑ p i ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩
とした。
干渉の状況を把握するために、位置x x x P ( x ) = ⟨ x ∣ ρ c ∣ x ⟩ P(x) = \bra{x}\rho_c\ket{x} P ( x ) = ⟨ x ∣ ρ c ∣ x ⟩
P ( x ) = 1 2 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ 2 + γ e i ϑ ψ ′ ( x ) ψ ′ ′ ∗ ( x ) + γ e − i ϑ ψ ′ ′ ( x ) ψ ′ ∗ ( x ) ) P(x) = \frac{1}{2} \left( |\psi^\prime(x)|^2 + |\psi^{\prime\prime}(x)|^2 + \gamma e^{i\vartheta} \psi^\prime(x) \psi^{\prime\prime *}(x) + \gamma e^{-i\vartheta} \psi^{\prime\prime}(x) \psi^{\prime *}(x) \right) P ( x ) = 2 1 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′′ ( x ) ∣ 2 + γ e i ϑ ψ ′ ( x ) ψ ′′ ∗ ( x ) + γ e − i ϑ ψ ′′ ( x ) ψ ′ ∗ ( x ) )
となる。ここで、ψ ′ ( x ) = ⟨ x ∣ ψ ′ ⟩ , ψ ′ ′ ( x ) = ⟨ x ∣ ψ ′ ′ ⟩ \psi^\prime(x) = \langle x | \psi^\prime \rangle, \psi^{\prime\prime}(x) = \langle x | \psi^{\prime\prime} \rangle ψ ′ ( x ) = ⟨ x ∣ ψ ′ ⟩ , ψ ′′ ( x ) = ⟨ x ∣ ψ ′′ ⟩ ψ ′ ∗ ( x ) ψ ′ ′ ( x ) = ∣ ψ ′ ( x ) ∣ ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ e i Δ θ ( x ) \psi^{\prime *}(x)\psi^{\prime\prime}(x)=|\psi^\prime(x)| |\psi^{\prime\prime}(x)| e^{i\Delta \theta(x)} ψ ′ ∗ ( x ) ψ ′′ ( x ) = ∣ ψ ′ ( x ) ∣∣ ψ ′′ ( x ) ∣ e i Δ θ ( x )
P ( x ) = 1 2 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ 2 ) + γ ∣ ψ ′ ( x ) ∣ ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ cos ( Δ θ ( x ) + ϑ ) P(x) = \frac{1}{2} \left( |\psi^\prime(x)|^2 + |\psi^{\prime\prime}(x)|^2 \right) + \gamma |\psi^\prime(x)| |\psi^{\prime\prime}(x)| \cos(\Delta \theta(x) + \vartheta) P ( x ) = 2 1 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′′ ( x ) ∣ 2 ) + γ ∣ ψ ′ ( x ) ∣∣ ψ ′′ ( x ) ∣ cos ( Δ θ ( x ) + ϑ )
となる。
一番シンプルな想定 一番シンプルな想定は、内部状態はどちらのスリットを通過したのかによらないという仮定、すなわち
∀ i , ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 \forall i, \, \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle =1 ∀ i , ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1
を仮定する場合である。その場合は、γ = 1 , ϑ = 0 \gamma=1, \vartheta = 0 γ = 1 , ϑ = 0
P ( x ) = 1 2 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ 2 ) + ∣ ψ ′ ( x ) ∣ ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ cos ( Δ θ ( x ) ) P(x) = \frac{1}{2} \left( |\psi^\prime(x)|^2 + |\psi^{\prime\prime}(x)|^2 \right) + |\psi^\prime(x)| |\psi^{\prime\prime}(x)| \cos(\Delta \theta(x)) P ( x ) = 2 1 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′′ ( x ) ∣ 2 ) + ∣ ψ ′ ( x ) ∣∣ ψ ′′ ( x ) ∣ cos ( Δ θ ( x ))
である。これが最も簡易な説明で、二重スリットの干渉実験を表すと考えられている式である。
内部状態の内積がランダムな場合 もし仮に、⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ i i i γ ≈ 0 \gamma \approx 0 γ ≈ 0 ∑ i p i ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ \sum_i p_i \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle ∑ i p i ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩
P ( x ) ≈ 1 2 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′ ′ ( x ) ∣ 2 ) P(x) \approx \frac{1}{2} \left( |\psi^\prime(x)|^2 + |\psi^{\prime\prime}(x)|^2 \right) P ( x ) ≈ 2 1 ( ∣ ψ ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ ′′ ( x ) ∣ 2 )
となり、干渉は観測できない。分子の内部状態は干渉が観測できるか否かに影響がある。通ったスリットにより内部状態が変わる可能性としては、スリットの端と分子の相互作用が考えられる。
内部状態が通ったスリットにより異なりランダムな場合 次に内部状態そのものがランダムになる場合を考えよう。すなわち、H o \mathcal{H}_o H o { ∣ μ j ⟩ } \set{\ket{\mu_j}} { ∣ μ j ⟩ }
∣ ϕ i ′ ⟩ = ∑ j c i , j ′ ∣ μ j ⟩ , ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ = ∑ j c i , j ′ ′ ∣ μ j ⟩ \ket{\phi_i^\prime} = \sum_j c^\prime_{i,j} \ket{\mu_j}, \\
\ket{\phi_i^{\prime\prime}} = \sum_j c^{\prime\prime}_{i,j} \ket{\mu_j} ∣ ϕ i ′ ⟩ = j ∑ c i , j ′ ∣ μ j ⟩ , ∣ ϕ i ′′ ⟩ = j ∑ c i , j ′′ ∣ μ j ⟩
とする。この場合、c i , j ′ c^\prime_{i,j} c i , j ′ c i , j ′ ′ c^{\prime\prime}_{i,j} c i , j ′′ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ≈ 0 \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle \approx 0 ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ≈ 0 γ ≈ 0 \gamma \approx 0 γ ≈ 0
干渉が見えにくなる場合 ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ≠ 1 \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle \ne 1 ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 i i i p i p_i p i i i i ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ∀ i , ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = i \forall i, \, \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle = i ∀ i , ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = i γ = 1 \gamma = 1 γ = 1 ∀ i , ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 \forall i, \, \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle = 1 ∀ i , ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 ϑ = π 2 \vartheta = \frac{\pi}{2} ϑ = 2 π
一方で、全てのi i i ∣ ϕ i ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime}} ∣ ϕ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime\prime}} ∣ ϕ i ′′ ⟩
∀ i , ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ϕ i ′ ∣ = ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ \forall i, \, \ket{ \phi_i^\prime}\bra{ \phi_i^\prime} = \ket{\phi_i^{\prime\prime}} \bra{\phi_i^{\prime\prime}} ∀ i , ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ϕ i ′ ∣ = ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ϕ i ′′ ∣
であっても、 ∣ ϕ i ′ ⟩ = e i ϑ i ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime}} = e^{i \vartheta_i} \ket{\phi_i^{\prime\prime}} ∣ ϕ i ′ ⟩ = e i ϑ i ∣ ϕ i ′′ ⟩ ϑ i \vartheta_i ϑ i i i i γ ≈ 0 \gamma \approx 0 γ ≈ 0 ∣ ϕ i ′ ⟩ = e i ϑ i ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime}} = e^{i \vartheta_i} \ket{\phi_i^{\prime\prime}} ∣ ϕ i ′ ⟩ = e i ϑ i ∣ ϕ i ′′ ⟩ ϑ i \vartheta_i ϑ i i i i 0 0 0 γ \gamma γ
また、
∣ ϕ i ′ ′ ⟩ = 1 − ϵ i 2 ∣ ϕ i ′ ⟩ + ϵ i e i ϑ i ∣ ϕ i ′ ′ ′ ⟩ \ket{\phi_i^{\prime\prime}} = \sqrt{1 - \epsilon_i^2} \ket{\phi_i^{\prime}} + \epsilon_i e^{i \vartheta_i} \ket{\phi_i^{\prime\prime\prime}} ∣ ϕ i ′′ ⟩ = 1 − ϵ i 2 ∣ ϕ i ′ ⟩ + ϵ i e i ϑ i ∣ ϕ i ′′′ ⟩
で、ϵ i \epsilon_i ϵ i
デカップリングが破れる場合 「デカップリング」の節の冒頭で、「必ずしも正確ではないが、H o \mathcal{H}_o H o ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ ∣ ϕ i ⟩ \ket{\phi_i} ∣ ϕ i ⟩
∑ i p i ( 1 2 ∣ ψ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ i ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ) + ∑ i p i ( 1 2 ∣ ψ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ + 1 2 ∣ ψ i ′ ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ ) \sum_i p_i \left(\frac{1}{2}\ket{\psi_i^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi_i^\prime}\bra{\phi_i^\prime} + \frac{1}{2}\ket{\psi_i^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi_i^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} \right) \\
+\sum_i p_i \left( \frac{1}{2}\ket{\psi_i^\prime}\ket{\phi_i^\prime}\bra{\psi_i^{\prime\prime}}\bra{\phi_i^{\prime\prime}} + \frac{1}{2}\ket{\psi_i^{\prime\prime}}\ket{\phi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi_i^\prime}\bra{\phi_i^\prime} \right) i ∑ p i ( 2 1 ∣ ψ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ + 2 1 ∣ ψ i ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ i ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ ) + i ∑ p i ( 2 1 ∣ ψ i ′ ⟩ ∣ ϕ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′′ ∣ ⟨ ϕ i ′′ ∣ + 2 1 ∣ ψ i ′′ ⟩ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ ⟨ ϕ i ′ ∣ )
と表されるだろう。内部状態をトレースアウトすると
ρ c = ∑ i p i 2 ( ∣ ψ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ + ∣ ψ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ′ ∣ + ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ∣ ψ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ′ ∣ + ⟨ ϕ i ′ ∣ ϕ i ′ ′ ⟩ ∣ ψ i ′ ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ ) \rho_c = \sum_i \frac{p_i}{2} \left( \ket{\psi_i^\prime}\bra{\psi_i^\prime} + \ket{\psi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi_i^{\prime\prime}} + \braket{\phi_i^{\prime\prime} \vert{} \phi_i^\prime} \ket{\psi_i^\prime}\bra{\psi_i^{\prime\prime}} + \braket{\phi_i^\prime \vert{} \phi_i^{\prime\prime}} \ket{\psi_i^{\prime\prime}}\bra{\psi_i^\prime} \right) ρ c = i ∑ 2 p i ( ∣ ψ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ + ∣ ψ i ′′ ⟩ ⟨ ψ i ′′ ∣ + ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ∣ ψ i ′ ⟩ ⟨ ψ i ′′ ∣ + ⟨ ϕ i ′ ∣ ϕ i ′′ ⟩ ∣ ψ i ′′ ⟩ ⟨ ψ i ′ ∣ )
となり、位置x x x
P ( x ) = ∑ i p i 2 ( ∣ ψ i ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ i ′ ′ ( x ) ∣ 2 + 2 ℜ [ ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ψ i ′ ( x ) ψ i ′ ′ ( x ) ∗ ] ) P(x) = \sum_i \frac{p_i}{2} \left(|\psi^{\prime}_i(x)|^2 + |\psi_i^{\prime\prime}(x)|^2 + 2 \Re [ \langle \phi^{\prime\prime}_i| \phi^{\prime}_i\rangle \psi^{\prime}_i(x) \psi_i^{\prime\prime}(x)^* ] \right) P ( x ) = i ∑ 2 p i ( ∣ ψ i ′ ( x ) ∣ 2 + ∣ ψ i ′′ ( x ) ∣ 2 + 2ℜ [⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ ψ i ′ ( x ) ψ i ′′ ( x ) ∗ ] )
となる、この場合は、どの程度デカップリングが破れるかの程度にもよるが、一般論としては干渉は測定できないだろう。
実験での確認結果 光子の放出によりデカップリングが破れると干渉が観測できなくなる現象は実験で確認されて、2004年にNatureに掲載されている。
デカップリングは破れなくても内部状態が直交する状態になることで干渉が観測されなくなることも実験で確認され、2015年にScience に掲載 されている（下記のカードはarxivでScience誌のリンクはこちら ）。
ただし、本稿で述べたような内部状態が混合状態のケースではなく、内部状態が純粋状態の場合である（また分子ではなく原子での実験である。スリットの代わりにField-Gradient Beam Splitterが用いられている。）。すなわち、p 1 = 1 p_1 = 1 p 1 = 1 ∀ i ≥ 2 , p i = 0 \forall i \ge 2, \, p_i = 0 ∀ i ≥ 2 , p i = 0 p 1 = 1 p_1 = 1 p 1 = 1 ⟨ ϕ 1 ′ ′ ∣ ϕ 1 ′ ⟩ = 0 \langle \phi_1^{\prime\prime}| \phi_1^\prime \rangle = 0 ⟨ ϕ 1 ′′ ∣ ϕ 1 ′ ⟩ = 0
上記Science論文のarxiv版には（私は見たことがないが多分Sciences誌にも）
In the extreme case, when the two clock states are orthogonal, e.g. one in the state of ( ∣ 1 ⟩ + ∣ 2 ⟩ ) / 2 (\ket{1}+\ket{2})/ \sqrt{2} ( ∣ 1 ⟩ + ∣ 2 ⟩ ) / 2 ( ∣ 1 ⟩ − ∣ 2 ⟩ ) / 2 (\ket{1}−\ket{2})/ \sqrt{2} ( ∣ 1 ⟩ − ∣ 2 ⟩ ) / 2
と書かれている。clock statesが本稿における内部状態に該当する（論文ではアインシュタイン・ボーア論争との関連で（一般相対性理論との関連で）内部状態が時計であることが強調されているが本稿の趣旨には関係しない。）。そして“the visibility of the clock self-interference should drop to zero”であることが実験で確認されたとのことである。
内部自由度の時間進展で位相差が生じない理由（2026.8.27追記） 重心の位置と内部自由度に相互作用がない場合、内部自由度は内部自由度のハミルトンニアンH internal H_{\text{internal}} H internal e − i H internal t ℏ e^{-i \frac{H_{\text{internal}}t}{\hbar}} e − i ℏ H internal t Δ t \varDelta t Δ t e − i H internal Δ t ℏ e^{-i \frac{H_{\text{internal}}\varDelta t}{\hbar}} e − i ℏ H internal Δ t ∀ i , ⟨ ϕ i ′ ′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 \forall i, \, \langle \phi_i^{\prime\prime}| \phi_i^\prime \rangle =1 ∀ i , ⟨ ϕ i ′′ ∣ ϕ i ′ ⟩ = 1 Experimental decoherence in molecule interferometry 」の「I1.3 Decoherence due to internal states」の「11.3.1 The fallacy of the internal clock」において
Naively, one might wonder whether this path-length difference is associated with different arrival times that can be read off from the clock, which would reveal which-path information and cause decoherence. However, interference and detection of each molecule takes place at a well-defined time, no matter whether it had existed as a superposition of different wavelets inside the interferometer.
arXiv:2101.08216 [quant-ph]と書いている。
