トイレットペーパーはなぜ急に減るのか
こんにちは、のつのです。
トイレットペーパーって、
なぜか後半になると、急に減りませんか。
昨日まで「まだ余裕あるな」と思っていたのに、
気づいたら芯が見えていて、
「え、もう終わり？」となる。
この現象、
気のせいでも、使いすぎでもありません。
理由は、見ている指標が間違っているだけなんです。
奥行き方向は、全部同じ
まず、大胆に割り切ります。
トイレットペーパーは円柱ですが、
紙の幅（奥行き方向）は、どこを切っても同じです。
つまり、
残っている紙の量は断面の面積に比例する
と考えてしまいます。
長さも、密度も、
いったん全部忘れてください。
円の面積だけを見ます。
直径が倍でも、中身は倍じゃない
円の面積は、
π×r^2
半径の二乗です。懐かしいですね。
半径が r の円と、
半径が倍 2r の円を比べると、
直径は 2倍
面積は 4倍
になります。
見た目は「2倍」なのに、中身は「4倍」。
これが、
すべての混乱の始まりです。
面積が半分になると、直径はどうなるか
では、逆に考えてみます。
「中身が半分」というのは、面積が半分ということ。
面積が 1/2 になるときは、
r = √(1/2) = 0.707
つまり、直径は約 7割（ルート2分の1）
見た目で「まだ 2/3 くらいあるな」と思っている時点で、
実はもう半分近く使っている。
この時点で、後半が急に減る理由は、かなり説明できました。
トイレットペーパーの実寸で考える
ここから、
具体的な数字を入れてみます。
トイレットペーパーのサイズってJISで決まってるんですね、初めて知りました。工業製品ですし、生活必需品ですし規格があるのはそりゃそうかって話ですが…
ロールの外径：120mm → 半径 60mm
芯の直径：38mm → 半径 19mm
紙が巻かれているのは、
半径 19mm から 60mm の
ドーナツ状の部分です。
この面積は、
60^2- 19^2π = (3600 - 361)π = 3239π ㎟
これを
「新品の状態＝100%」
とします。
見た目で「直径が半分」になったとき
次に、ロールの直径が見た目で半分くらいになった
という状態を考えます。
外径120mmの半分 → 直径60mm
外半径は 30mm です。
このとき、
残っている紙の面積は、
30^2π - 19^2π = (900 - 361)π = 539π ㎟
最初の 3239π と比べると、
3239 : 539 ≒ 6 : 1
つまり、直径が半分に見える頃には、残りは約6分の1
ほとんど終盤です。
「まだ半分ある」という感覚は、
完全に錯覚。
別の見方：巻き部の厚さが半分になったら
もう一つ、少し違う見方をします。
ロール全体の直径ではなく、紙が巻かれている厚さに注目します。
最初の巻き厚は、
60mm − 19mm = 41mm
この巻き厚が半分になると、
19mm + 20.5mm = 39.5mm
が、新しい外半径です。
このときの面積は、
39.5^2π - 19^2π = (1560.25 - 361)π = 1199.25π
全体 3239π と比べると、
3239 : 1199.25 ≒ 2.7 : 1
つまり、巻き部の厚さが半分になった時点で、残りは約2.7分の1
「だいぶ減ったな」という
体感と、かなり一致します。
なぜ後半で一気に減るのか
整理すると、こうなります。
見た目の直径が半分→ 残り 約6分の1
巻き部の厚さが半分→ 残り 約2.7分の1
どちらの見方でも、後半は、見た目以上に中身が減っている
という結論は変わりません。
トイレットペーパーが
後半で急に減るのは、
紙の性格が悪いからではなく、
円の面積が、半径の二乗で決まるから。
ただ、それだけの話です。
もう一歩先へ｜それは、トイレ何回分なのか
ここまでで、
見た目で直径が半分になったとき残りは 約6分の1
巻き部の厚さが半分になったとき残りは 約2.7分の1
ということが分かりました。
でも、ここで一つだけ、
どうしても気になることがあります。
それって、結局トイレ何回分なの？
話を分かりやすくするために、
前提を一つだけ置きます。
Google先生曰く、
トイレットペーパーの全長：32.5m（JISの一つ）
1回の使用量（平均）：3m
とします。
かなりざっくりですが、
日常感覚としてはそこまで外れていない数字だと思います。
実際にだだだだっと紙を手に巻き取ってみたらたしかにこれくらいでした。
この前提で、「あと何回使えるか」を見ていきます。
パターン①：見た目で直径が半分のとき
まずは、ロールの直径が、見た目で半分になったケース。
このとき残っている量は、全体の約6分の1でした。
32.5m × 1/6 ≒ 5.4m
1回 3m 使うとすると、
5.4m ÷ 3m ≒ 1.8回分
つまり、直径が半分に見えた時点で、残っているのはせいぜい2回分
「まだ半分ある」という感覚とは、まったく噛み合いません。
パターン②：巻き部の厚さが半分のとき
次に、紙が巻かれている厚さが半分
になったケース。
このとき残っている量は、
全体の約2.7分の1でした。
32.5m ÷ 2.7 ≒ 12.0m
12.0m ÷ 3m = 4回分
つまり、巻き部が半分になったと感じた時点で、残りは4回分前後
このあたりは、体感ともかなり近い数字です。
「そろそろ替え時かな」と思い始める頃合い。
数字にすると、感覚が一気に現実に戻る
整理すると、こうなります。
見た目の直径が半分→ 残り 約2回分
巻き部の厚さが半分→ 残り 約4回分
トイレットペーパーが
後半で急に減ったように感じるのは、
錯覚でも、気のせいでもなく、
実際に、使える回数が一気に少なくなっているから
でした。
おわりに
直径で見ている限り、僕らはずっと騙され続けます。
でも、断面の面積で考えた瞬間、不思議ではなくなります。
次にロールを替えるとき、
もし少しだけ余裕があったら、
横から芯を眺めてみてください。
「ああ、ここまで来たら、もうほとんど残ってないな」
そう思えたら、もう紙がない絶望とはおさらばです。
