ふわラボ通信⑤　コラッツ亜種園

ルールを少し変えたら、数はどこへ帰るのか

前回、コラッツ予想を逆から眺めてみた。

ふつうに見ると、コラッツ予想は「数たちは1へ帰るのか？」という問いになる。

でも逆から見ると、少し景色が変わった。

1から枝を伸ばしていく。
2へ。
4へ。
8へ。
16へ。
そこから5が生え、10が生え、3が生え、13が生え、27が遠くの枝に実る。

数の川を逆から見ると、世界樹になる。

かなり良かった。

良かったのだけれど、そこでまた、危ないことを思いついてしまった。

そもそも、このルールを少し変えたらどうなるのだろう。

コラッツ予想のルールは、こうだった。

偶数なら、2で割る。
奇数なら、3倍して1を足す。

では、この「3倍して1を足す」を、少しだけ変えたら？

3倍して1を引く。
5倍して1を足す。
5倍して1を引く。

数たちは、同じ1の家へ帰るのだろうか。
それとも、別の村へ帰っていくのだろうか。

どうやら、コラッツ予想はひとつの沼ではなかった。

沼の奥に、植物園があった。

コラッツ亜種園である。

コラッツ予想を「ルールの箱」として見る

コラッツ予想を、未解決問題として見ると、とても大きい。

どんな正の整数から始めても、必ず1にたどり着くのか。
これはまだ一般には証明されていない。

この時点で、黒板が遠い。

でも、少し見方を変える。

コラッツ予想を、ひとつの「ルールの箱」として見る。

箱の中には、こう書いてある。

偶数なら、こうする。
奇数なら、こうする。
それを繰り返す。

これだけ見ると、ちょっとゲームっぽい。

偶数カードを引いたら半分。
奇数カードを引いたら3倍して1を足す。
次の数字へ進む。
また判定する。

つまり、コラッツ予想は、数学の未解決問題であると同時に、数を動かす小さなゲームエンジンにも見える。

だったら、エンジンの部品を少し入れ替えたらどうなるのか。

今回はそれを観察してみる。

もちろん、これは証明ではない。

ルールを少し変えて、数たちの帰り道を眺めるだけの遊びである。

ただし、こういう遊びはだいたい危ない。

まずは標準コラッツの庭

最初の庭は、いつものコラッツ予想。

標準コラッツ。

偶数なら、

n → n/2

奇数なら、

n → 3n + 1

たとえば7から始めると、

7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

となる。

最後は1にたどり着く。

そして1まで来ると、

1 → 4 → 2 → 1

の小さな輪に入る。

この世界では、数たちはみんな1の家へ帰ってくるように見える。

7も。
13も。
27も。
31も。

もちろん、27は帰るまでにかなり寄り道する。

近所のコンビニへ行くつもりで、9232メートル級の山に登ってから帰ってくるタイプである。

でも、それでも最後は1へ帰ってくるように見える。

標準コラッツの庭では、中心に「1の家」がある。

数たちは、それぞれ違う場所から出発する。
途中で跳ねたり、半分になったり、合流したりする。
でも、最後は1の家へ向かっているように見える。

ように見える。

この言葉は、何度出しても少し怖い。

+1を−1にしてみる

次に、ルールを少し変えてみる。

標準コラッツでは、奇数のときに、

3n + 1

だった。

これを、

3n − 1

にしてみる。

偶数なら、n/2。
奇数なら、3n−1。

たったそれだけ。

+1を−1に変えるだけ。

数字の世界にとっては、ほんの小さな変更に見える。

でも、数たちの帰り道は変わる。

たとえば1から始める。

1は奇数なので、

1 → 2

2は偶数なので、

2 → 1

つまり、

1 → 2 → 1

という小さな輪に入る。

ここまではまだ、1の近所である。

では5から始めるとどうなるか。

5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5

あれ。

5に戻ってきた。

つまり、この世界には、

5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5

という別の輪がある。

標準コラッツでは、数たちは1の家へ帰ってくるように見えた。

でも、3n−1の世界では、1の家だけではない。

5の村がある。
14の道がある。
7を通って、20へ行って、10へ行って、また5へ戻る。

数たちは、別の村へ帰り始める。

+1を−1に変えただけなのに。

これは面白い。

ルールの符号をひとつ変えただけで、数の地図に別の村が現れる。

標準コラッツの庭では、中央に1の家があった。
3n−1の庭では、いくつかのループ村がぽこぽこ生えてくる。

沼というより、もう湿地帯である。

足元に気をつけたい。

5倍して1を足してみる

さらに、倍率も変えてみる。

標準コラッツでは、奇数を3倍していた。

今度は、5倍して1を足してみる。

偶数なら、n/2。
奇数なら、5n+1。

5n+1版である。

まず1から始める。

1 → 6 → 3 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

1に戻ってきた。

ただし、標準コラッツの

1 → 4 → 2 → 1

より、少し大きめの輪になっている。

次に、5から始めてみる。

5 → 26 → 13 → 66 → 33 → 166 → 83 → 416 → 208 → 104 → 52 → 26

26に戻ってきた。

つまり、5から始めると、26を含む大きな輪に入る。

ここで気づく。

5n+1の世界では、数のジャンプが強い。

奇数を5倍して1を足すのだから、当然といえば当然だ。
3倍よりも勢いがある。

標準コラッツでは、奇数がぽんと跳ねる。
5n+1では、奇数がばいんと跳ねる。

少し擬音が大きくなる。

この世界の数たちは、帰る場所も、旅の長さも、跳ね上がり方も変わってくる。

1の輪に入る数もある。
26の輪に入る数もある。
もっと別の輪に入る数もありそうに見える。

同じ整数たちなのに、ルールが変わると暮らしが変わる。

標準コラッツの世界では、1の家へ帰るように見えた数たちが、
5n+1の世界では、別の集落を作り始める。

数の生態系が変わった。

亜種園の見方

ここまでで、3つの庭を眺めた。

標準コラッツ。

偶数なら n/2。
奇数なら 3n+1。

数たちは1へ帰ってくるように見える。

3n−1版。

偶数なら n/2。
奇数なら 3n−1。

1の輪もあるけれど、5→14→7→20→10→5 のような別の輪も出てくる。

5n+1版。

偶数なら n/2。
奇数なら 5n+1。

1の輪もある。
26を含む輪もある。
ジャンプが強く、旅が大きくなりやすい。

こうして比べると、コラッツ予想はひとつの問題でありながら、同時にたくさんの「亜種」を作れるルール遊びにも見えてくる。

奇数のルールを少し変える。
+1を−1にする。
3倍を5倍にする。
あるいは、7倍にしてみる。

それだけで、数たちの帰る場所が変わる。

1の家へ帰る世界。
5の村へ帰る世界。
26の輪に入る世界。
どこへ向かうのかわからない世界。

数たちは同じなのに、ルールが変わると物語が変わる。

これはもう、数学というより、数の生態観察である。

小さな実験：自分だけのコラッツ亜種を育ててみる

ここで、少しだけ手を動かしてみる。

自分だけのコラッツ亜種を作ってみる。

まず、偶数のルールを決める。

最初はいつも通り、

偶数なら n/2

でいい。

次に、奇数のルールを決める。

たとえば、

3n+1
3n−1
5n+1
5n−1

このあたりから選んでみる。

そして、好きな数から始める。

7でもいい。
13でもいい。
26でもいい。
100でもいい。

ルールに従って、数を進めていく。

観察することは、いくつかある。

1の家へ帰るか。
別の村に入るか。
途中で大きく跳ね上がるか。
同じ数に戻ってループするか。
ループはいくつありそうか。
帰り道は短いか、長いか。
その世界は、おだやかか、荒っぽいか。

ここで大事なのは、やっぱりこれだ。

これは証明ではない。

ただの観察である。

でも、観察しているうちに、ルールごとの性格が見えてくる。

3n+1は、なぜか1へ帰るように見える不思議な庭。
3n−1は、いくつかの村へ分かれて帰る庭。
5n+1は、跳ね上がりの強い、少し野生的な庭。

ルールに性格があるように見える。

いや、本当に性格があるわけではない。

でも、そう見えてしまったら、もう少し観察したくなる。

危険である。

これは数学ではなく、ルール遊びなのか

ここで少しだけ考える。

こういう亜種を作って遊ぶことに、意味はあるのだろうか。

標準のコラッツ予想そのものは、まだ証明されていない。
それなのに、亜種まで作ってどうするのか。

たぶん、専門家の研究としては、もっと厳密な形で考える必要がある。

でも、Fluffy Laboratoryでやりたいのは、未解決問題をいきなり解くことではない。

遠すぎる問いを、まず手元に置ける形にすること。

ルールを少し変えると、数のふるまいが変わる。
帰る場所が変わる。
ループが増える。
旅の荒さが変わる。

それを見るだけでも、十分に面白い。

コラッツ予想の不思議さは、3n+1という特定のルールだけにあるのか。
それとも、「偶数なら半分、奇数なら何かする」という形そのものにあるのか。

そういう問いが生まれる。

答えではなく、問いが増える。

また危険な方向である。

沼はひとつではなかった

コラッツ予想は、ひとつの沼だと思っていた。

偶数なら半分。
奇数なら3倍して1を足す。

それだけの単純なルールなのに、どんな数も本当に1へ帰るのかはわからない。

入口の浅さに油断して、足を入れる。

すると、27がいる。
世界樹が生える。
しましまが現れる。
数が歩き出す。

そして今回は、さらに気づいてしまった。

ルールを少し変えるだけで、沼が増える。

3n−1の沼。
5n+1の沼。
5n−1の沼。
まだ見ぬルールの沼。

これはもう、沼というより亜種園である。

湿った庭に、いろいろな数の植物が生えている。

1の家へ向かうツル。
5の村へ丸まる蔓。
26の輪をぐるぐる回る花。
どこまで伸びるのかわからない芽。

見ているだけなら楽しい。

ただし、手入れを始めると帰ってこられない可能性がある。

次回予告

ここまで、コラッツ予想の周りをいろいろ歩いてきた。

足あとを採集した。
縞模様にした。
線にした。
世界樹にした。
亜種園まで作ってしまった。

そろそろ、ひとつの種類に注目してみたくなる。

たとえば、素数。

2以外の素数は、みんな奇数である。
ということは、コラッツの世界では、まず必ず3倍して1を足される。

素数たちは、どんな旅をするのだろう。

すぐ下山する素数。
いったん打ち上がる素数。
途中で合成数に変わる素数。
奇数駅だけ見ると、しばらく素数が続く道。

次回は、数の王様っぽい顔をした素数たちを、コラッツの道へ送り出してみたい。

素数は、本当に特別なのか。

それとも、この世界では、わりと普通に坂道を転がされるのか。

また、変な観察ノートが増えそうである。