o1に日本数学オリンピックの予選問題を解かせてみた
12月6日にOpenAIは、数学、科学、コーディングなどの分野で高い性能を発揮する推論モデルのo1を公開しました。
数学の性能については、アメリカ数学オリンピック予選（AIME）の正解率を見ると、o1の正解率（78%）はo1-previewの正解率（50%）から28ポイントも改善しています。なお、o1 pro modeの正解率は86%です。
今回は、今年（2024年）1月に行われた第34回日本数学オリンピック予選の問題をo1-previewに解いてもらうことにしました。
なお、第34回日本数学オリンピック本選出場基準は12点満点の6点以上で、最高得点は10点でした。（1問1点で部分点無し）
第1問
以下の値は有理数である。これを既約分数の形で表せ。 √((123! - 122!) / (122! - 121!))
筆者のコメント：21秒考えて正解しました。なお、この問題はo1-previewでも18秒考えて正解しています。
ChatGPTの回答の最初の「21秒の間、Thought about 有理数の既約分数」の部分をクリックすると、右サイドバーに以下のように思考の過程が表示されます。これを見ると、最初の段階で122/11という正解が出ており、その後、この回答が正しいか詳しくチェックしているようです。
第2問
どの桁に現れる数字も素数であるような正の整数を素敵な数とよぶ。3桁の正の整数 nであって、n+2024と n−34がともに素敵な数であるものはちょうど2つある。このような nをすべて求めよ。
筆者のコメント：1分5秒考えて正解しました。なお、o1-previewも正解しましたが、可能性のある数を全部リストアップして力づくで解いており、o1の方が一桁ごとに数を絞り込んでいくなど解き方が洗練されています。
第3問
一辺の長さが10の正三角形ABCがある。Aを通る円が辺BC（端点を除く）と点 Xで接し、辺AB, ACとそれぞれAでない点D, Eで交わっている。BX>CX, AD+AE=13がともに成り立つとき、線分 BXの長さを求めよ。ただしPQで線分PQの長さを表すものとする。
筆者のコメント：1分4秒考えて正解しました。なお、o1-previewはこの問題を解けませんでした。
第4問
nを0以上5^5以下の整数とする。黒石n個と白石5^5−n個を横一列に並べ、次の操作を5回繰り返す。
石の列を左から順に5個ずつ組にする。各組に対して、その組に属する5個の石を、それらの5個の石のうち多い方の色の石1個に置き換える。
最初の石の並べ方によらず、最後に残る1個の石が必ず黒石であるようなnとしてありうる最小の値を求めよ。
筆者のコメント：3分7秒考えて正解しました。なお、o1-previewはこの問題を解けませんでした。
第5問
10以上の整数nであって、
[n/1][n/2]…[n/10]=nC10
をみたすようなもののうち、最小のものを求めよ。ただし、実数rに対してr以下の最大の整数を[r]で表す。たとえば、[3.14]=3、[5]=5である。
筆者のコメント：2分1秒考えて正解しました。なお、o1-previewはこの問題を解けませんでした。
第6問
AB=AC=5なる二等辺三角形 ABCの辺AB上にAD=3をみたす点Dが、辺BC上 (端点を除く)に点Eがある。点Eを通り直線ABに点Bで接する円をωとすると、ωは三角形 ADEの外接円に接した。ωと直線AEの交点のうちEでない方をFとすると、CF=10が成り立った。このとき、辺 BCの長さを求めよ。ただし、XYで線分 XYの長さを表すものとする。
筆者のコメント：2分39秒考えましたが、不正解でした。正解はです。なお、o1-previewもこの問題を解けませんでした。
第7問
次の条件をみたす 3 以上の素数 p と 1 以上 2024 以下の整数 a の組 (p, a) の個数を求めよ。
a < p^4 であり、ap^4 + 2p^3 + 2p^2 + 1 が平方数となる。
筆者のコメント：2分28秒考えて正解できました。なお、o1-previewはこの問題を解けませんでした。
第8問
非負整数に対して定義され整数値をとる関数 f が、任意の非負整数 m, n に対して
f(m + n)^2 = f(m|f(n)|) + f(n^2)
をみたしているとき、整数の組 (f(0), f(1), ..., f(2024)) としてありうるものはいくつあるか。
筆者のコメント：34秒考えましたが、不正解でした。正解は個です。f(０)=0の場合はf(n)=0の定数関数で1通りのみですが、f(0)=2の場合は、nが奇数かつ平方数でないときにf(n)=2の場合とf(n)=-2の場合があり、通りの組があるので、合計個となります。なお、o1-previewもこの問題を解けませんでした。
第9問
円に内接する四角形 ABCD があり、AB=7, BC=18 をみたしている。∠CDAの二等分線と辺BCが点Eで交わっており、また線分DE上の点Fが∠AED=∠FCDをみたしている。BE=5, EF=3 のとき、線分DFの長さを求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。
筆者のコメント：不正解です。正解は17/3です。o1-previewもこの問題を解けませんでした。
第10問
100×100のマス目の各マスにJ,M,Oのいずれか1文字を書き込むことを考える。2×2 のマス目であって次のいずれかをみたしているものを良いブロックとよぶこととする。
- その4マスに書き込まれた文字がちょうど1種類である。
- その4マスに書き込まれた文字がちょうど2種類であり、その2種類の文字はそれぞれ 2つずつ書き込まれている。
- その4マスに書き込まれた文字がちょうど3種類であり、左下と右上のマスに同じ文字が書き込まれている。
このとき、次の条件をともにみたすような書き込み方はいくつあるか。
- どの2×2のマス目も良いブロックである。
- 辺を共有して隣り合う2マスの組であって書き込まれた文字が異なるのはちょうど 10000組存在する。ただし、マスの順番を入れ替えただけの組は同じものとみなす。
ただし、回転や裏返しによって一致する書き込み方も異なるものとして数える。
筆者のコメント：不正解です。16秒間しか考えてくれず、初めから正解することを諦めているようです。正解はです。o1-previewもこの問題を解けませんでした。
第11問
正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数fはf(34)=2024をみたし、かつ任意の正の整数a, b, cに対して、3辺の長さがそれぞれ
a+f(b), b+f(c), c+f(a)
であるような三角形が存在する。このとき、f(100)+f(101)+⋯+f(199)としてありうる最小の値を求めよ。ただし、同一直線上にある3 点は三角形をなさないものとする。
筆者のコメント：不正解です。正解は102050です。o1-previewもこの問題を解けませんでした。
第12問
次の条件をみたす 0 以上 2099 以下の整数の組 (a1, a2, ..., a2100) の個数を求めよ。
整数の組(b1, b2, ..., b2100)であって、任意の1以上2100以下の整数iに対して
ai≡∑(bj) (mod 2100) （ただし、gcd(j - i, 2100)=1, 1≦j≦2100）
となるものが存在する。ただし、右辺はj−iと2100をともに割りきる2以上の整数が存在しないような1以上2100以下の整数jについてのbjの総和である。
筆者のコメント：不正解です。正解は個です。o1-previewもこの問題を解けませんでした。
2024年日本数学オリンピック予選問題の解答解説のリンク
まとめ
前回、o1-previewにこれらの問題を解かせたときは、12問中2問しか解けなかった（以下のnote記事を参照）のですが、今回、o1は12問中6問を正解しました。
正解した問題については、解き方も以前より洗練されており、o1の数学の性能はかなり向上したと言ってよいと思います。
第34回（2024年）日本数学オリンピックの本選出場基準は6問以上であり、o1は今回、この基準を達成したことになります。一方で、受験者のトップは10問正解しており、このレベルとはまだ差があります。
予選問題は、後の方の問題ほど難しくなるのですが、o1も第8問以降は1問も解けていません。ChatGPT proに加入しないと使用できないo1 proだと何問くらい解けるのか興味深いところです。
今回発表されたo1の数学の性能は大幅に向上しましたが、トップクラスの人間との差はまだまだ大きいものがあります。推論のスケーリングにより、これからもAIの性能は向上するはずですが、近い将来、本当にトップクラスの人間に追いつき、追い越すことができるのか、それとも、推論のスケーリングにも限界が来るのか、今後のAIの発展に注目です。
