위상

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정현파 함수의 한 주기에 대한 그래프. 주기 시작점을 기준으로 한 각 논항 값의 위상이 아래쪽에 0°에서 360°까지의 도 단위와 0에서 2π까지의 라디안 단위로 표시되어 있다.

물리학 및 수학에서 파동이나 다른 주기함수 $F$의 위상(位相, phase, 기호 φ 또는 ϕ)은 어떤 실수 변수 $t$(시간 등)에 대해 $t$까지 도달한 주기(cycle)의 비율을 나타내는 각도와 유사한 양이다. 이는 변수 $t$가 각 주기를 거침에 따라(그리고 $F(t)$가 각 완전한 주기를 거침에 따라) 한 번의 완전한 회전만큼 변화하도록 하는 척도로 표현된다. 위상은 도나 라디안과 같은 임의의 각 단위로 측정될 수 있으며, 변수 $t$가 한 주기를 완료함에 따라 360° 또는 $2\pi$만큼 증가한다.

이 관례는 정현파 함수에 특히 적합한데, 임의의 논항 $t$에서의 값은 위상의 사인 값인 $\varphi (t)$에 어떤 계수(진폭)를 곱한 것으로 표현할 수 있기 때문이다. (주기의 시작점을 어디로 보느냐에 따라 사인 대신 코사인을 사용할 수도 있다.)

보통 위상을 표현할 때는 한 바퀴 회전하는 전체 주기를 무시한다. 따라서 $\varphi (t)$ 역시 $F$와 같은 주기를 갖는 주기함수가 되며, $t$가 각 주기를 지날 때마다 동일한 각도 범위를 반복적으로 훑게 된다. 이때 $F$는 두 논항 값 $t_{1}$과 $t_{2}$의 차이가 주기 한 개 분량의 정수배일 경우 두 값에서 "같은 위상에 있다"(즉, $\varphi (t_{1})=\varphi (t_{2})$)고 말한다.

위상 $\varphi (t)$의 수치 값은 각 주기의 시작점을 임의로 어떻게 정하느냐에 따라, 그리고 각 주기를 매핑할 각도 간격에 따라 달라진다.

"위상"이라는 용어는 주기함수 $F$를 그와 이동된 버전인 $G$와 비교할 때도 사용된다. $t$에서의 이동을 주기의 비율로 나타내고, 이를 한 바퀴 회전에 해당하는 각도 $\varphi$로 변환하면 $F$에 대한 $G$의 위상 편이(phase shift), 위상 오프셋, 또는 위상차를 얻을 수 있다. 만약 $F$가 모든 정현파 신호의 경우와 같이 특정 신호 부류의 "표준" 함수라면, 이때 $\varphi$를 $G$의 초기 위상이라고 부른다.

수학적 정의

신호 $F$가 하나의 실수 변수에 대한 주기함수이고, $T$가 그 주기(즉, 모든 $t$에 대해 $F(t+T)=F(t)$를 만족하는 가장 작은 양의 실수)라고 하자. 그러면 임의의 논항 $t$에서 $F$의 위상은 다음과 같다. $$\varphi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]$$

여기서 $[\![\,\cdot \,]\!]\!\,$는 실수의 정수 부분을 버린 소수 부분을 나타낸다. 즉, $[\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,$이며, $t_{0}$는 주기의 시작점으로 간주되는 임의의 "원점" 값이다.

이 개념은 일정한 속도로 회전하며 $T$초마다 한 바퀴를 돌고, 시간 $t_{0}$에 12시 방향을 가리키는 시계 바늘을 상상하여 시각화할 수 있다. 이때 위상 $\varphi (t)$는 시간 $t$에 12시 방향으로부터 바늘의 현재 위치까지 시계 방향으로 잰 각도이다.

위상 개념은 원점 $t_{0}$를 $F$의 특징을 바탕으로 선택할 때 가장 유용하다. 예를 들어 정현파의 경우, 함수 값이 0에서 양수로 변하는 $t$를 선택하는 것이 편리하다.

위의 공식은 위상을 0과 $2\pi$ 사이의 라디안 각도로 나타낸다. 위상을 $-\pi$와 $+\pi$ 사이의 각도로 얻으려면 대신 다음을 사용한다. $$\varphi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)$$

도 단위(0°에서 360° 또는 -180°에서 +180°)로 표현된 위상도 "2π" 대신 "360°"를 사용하는 것을 제외하면 동일한 방식으로 정의된다.

결과

위의 어떤 정의를 사용하든 주기 신호의 위상 $\varphi (t)$ 또한 동일한 주기 $T$를 갖는 주기함수가 된다. $$\varphi (t+T)=\varphi (t)\quad \quad {\text{ for all }}t.$$

각 주기의 시작점에서 위상은 0이다. 즉, $$\varphi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {\text{ for any integer }}k.$$

게다가 원점 $t_{0}$를 어떻게 선택하든, 임의의 논항 $t$에 대한 신호 $F$의 값은 오직 $t$에서의 위상에만 의존한다. 즉, $F(t)=f(\varphi (t))$로 쓸 수 있으며, 여기서 $f$는 단 한 번의 회전 범위 내에서만 정의된 각도의 함수로서, $t$가 한 주기를 지날 때 $F$의 변화를 나타낸다.

사실, 특정한 파형을 갖는 모든 주기 신호 $F$는 다음과 같이 표현할 수 있다. $$F(t)=A\,w(\varphi (t))$$ 여기서 $w$는 0에서 2π까지의 위상 각도에 대한 "표준" 함수로, 해당 파형의 한 주기만을 설명하며, $A$는 진폭의 배율이다. (이 주장은 $F$의 위상을 계산하기 위해 선택된 시작 시간 $t_{0}$가 $w$의 논항 0에 대응한다고 가정한다.)

위상의 덧셈 및 비교

위상은 각도이므로 위상에 대해 산술 연산을 수행할 때는 통상적으로 한 바퀴 회전하는 전체 주기를 무시해야 한다. 즉, 두 위상의 합과 차(도 단위)는 다음 공식을 사용하여 계산해야 한다. $$360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]$$ 예를 들어, 위상 각도 190° + 200°의 합은 30°이며(190 + 200 = 390, 여기서 한 바퀴를 뺌), 30°에서 50°를 빼면 위상은 340°가 된다(30 − 50 = −20, 여기에 한 바퀴를 더함).

라디안의 경우 360 대신 $2\pi$를 사용하는 비슷한 공식이 적용된다.

위상 편이

위상 편이의 도해. 가로축은 시간에 따라 증가하는 각도(위상)를 나타낸다.

IQ 변조기를 사용한 위상 변이

두 주기 신호 $F$와 $G$의 위상 차이 $\varphi (t)=\varphi _{G}(t)-\varphi _{F}(t)$를 $F$에 대한 $G$의 위상차 또는 위상 편이라 한다. 위상차가 0이 되는 $t$ 값에서 두 신호는 동상(in phase)이라고 하며, 그렇지 않으면 서로 위상이 다르다(out of phase)고 한다.

시계 유추에서 각 신호는 동일한 시계의 바늘(또는 포인터)로 표현되며, 둘 다 일정한 속도로(속도는 다를 수 있음) 회전한다. 이때 위상차는 시계 방향으로 잰 두 바늘 사이의 각도이다.

위상차는 두 신호가 물리적 과정(예: 두 소리원에서 방출되어 마이크로폰에 함께 기록된 두 주기적 음파)을 통해 합쳐질 때 특히 중요하다. 이는 중첩 원리가 성립하는 선형 시스템에서 흔히 발생한다.

위상차가 0인 논항 $t$에서 두 신호는 같은 부호를 가지며 서로 강화된다. 이를 보강 간섭이 일어난다고 한다. 위상이 다른 논항 $t$에서는 합의 값이 파형에 따라 결정된다.

정현파의 경우

정현파 신호의 경우 위상차 $\varphi (t)$가 180°($\pi$ 라디안)이면 위상이 반대라고 하며, 신호가 역위상(antiphase)에 있다고 한다. 이때 신호는 반대 부호를 가지며 상쇄 간섭이 일어난다. 반대로, 위상 반전은 180도 위상 편이를 의미한다.

위상차 $\varphi (t)$가 한 바퀴의 4분의 1(직각, +90° = π/2 또는 −90° = 270° = −π/2 = 3π/2)일 때, 정현파 신호는 때때로 직교 위상(in quadrature)에 있다고 한다. 예컨대 복합 신호의 동상 및 직교 성분이나 서로 다른 신호(예: 전압과 전류) 등이 있다.

주파수가 다르면 위상차 $\varphi (t)$는 논항 $t$에 따라 선형적으로 증가한다. 강화와 상쇄가 주기적으로 변화하면서 맥놀이라는 현상을 일으킨다.

이동된 신호의 경우

위상차는 주기 신호 $F$를 이동되고 배율이 조정된 버전인 $G$와 비교할 때 특히 중요하다. 즉, 모든 $t$와 어떤 상수 $\alpha ,\tau$에 대해 $G(t)=\alpha \,F(t+\tau )$라고 가정한다. 또한 $G$의 위상을 계산하기 위한 원점도 이동되었다고 가정한다. 이 경우 위상차 $\varphi$는 $t$와 무관한 상수가 되며, 이를 $F$에 대한 $G$의 '위상 편이' 또는 '위상 오프셋'이라 부른다. 시계 유추에서 이 상황은 두 바늘이 같은 속도로 회전하여 둘 사이의 각도가 일정한 상태에 대응한다.

이 경우 위상 편이는 단순히 논항 이동 $\tau$를 두 신호의 공통 주기 $T$의 비율(모듈로 연산 관점)로 표현하고 이를 한 바퀴 회전으로 조정한 값이다. $$\varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right\|\right].$$

만약 $F$가 모든 정현파 신호의 경우 $\sin(t)$와 같은 신호 부류의 "표준" 대표라면, 위상 편이 $\varphi$를 단순히 $G$의 초기 위상이라 부른다.

따라서 두 주기 신호의 주파수가 같으면, 항상 위상이 같거나 항상 위상이 다르다. 물리적으로 이런 상황은 여러 이유로 흔히 발생한다. 예를 들어, 두 신호는 서로 다른 위치에 있는 두 마이크로폰에 기록된 주기적인 음파일 수 있다. 또는 반대로, 같은 전기 신호로부터 두 개의 별도 스피커를 통해 생성되고 단일 마이크로폰에 기록된 주기적인 음파일 수 있다. 혹은 직선으로 수신 안테나에 도달하는 라디오 신호와 근처의 큰 건물에 반사된 복사본일 수도 있다.

위상차의 잘 알려진 예로는 지구상의 여러 지점에서 관찰되는 그림자 길이가 있다. 첫 번째 근사치로, $F(t)$를 한 지점에서 시간 $t$에 관찰되는 길이라 하고, $G$를 그 지점보다 경도상으로 30° 서쪽에 있는 지점에서 같은 시간에 관찰되는 길이라고 하면, 두 신호 사이의 위상차는 30°가 된다(각 신호에서 그림자가 가장 짧을 때 주기가 시작된다고 가정).

동일한 주파수를 갖는 정현파의 경우

정현파 신호(및 사각파나 대칭 삼각파와 같은 몇몇 다른 파형)의 경우, 180°의 위상 편이는 진폭을 부정한 0°의 위상 편이와 동일하다. 이러한 파형과 동일한 주기를 가지며 위상이 반대인 두 신호를 합치면, 합 $F+G$는 항등적으로 0이 되거나, 원래의 진폭 차이를 진폭으로 하는 동일한 주기와 위상을 가진 정현파 신호가 된다.

사인 함수에 대한 코사인 함수의 위상 편이는 +90°이다. 따라서 동일한 주파수와 진폭 $A$, $B$를 갖는 두 정현파 신호 $F$와 $G$에 대해, $G$가 $F$에 대해 +90°의 위상 편이를 가질 때, 합 $F+G$는 동일한 주파수를 가지며 다음을 만족하는 진폭 $C$와 $F$로부터 $-90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }$의 위상 편이를 갖는 정현파 신호가 된다. $$C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C.$$

동상 신호

위상이 다른 신호

위상 비교의 표현.

왼쪽: 위에서 아래로 움직이는 평면파의 실수부. 오른쪽: 중앙 부분이 다른 부분보다 두께가 다른 유리를 통과하는 등 위상 편이를 겪은 후의 같은 파동.

역위상 AE

음향 위상차의 실제 예는 네이티브 아메리칸 플루트의 워블(warble)에서 발생한다. 플루트에서 길게 유지되는 동일한 음의 서로 다른 배음 성분의 진폭은 위상 주기의 각기 다른 지점에서 우세해진다. 서로 다른 배음 사이의 위상차는 워블링 플루트 소리의 스펙트로그램에서 관찰할 수 있다.

위상 비교

위상 비교는 일반적으로 동일한 공칭 주파수를 갖는 두 파형의 위상을 비교하는 것이다. 시간과 주파수 분야에서 위상 비교의 목적은 일반적으로 기준(reference) 신호에 대한 주파수 오프셋(신호 주기 간의 차이)을 결정하는 것이다.

위상 비교는 두 신호를 2채널 오실로스코프에 연결하여 수행할 수 있다. 오실로스코프는 오른쪽 그래픽과 같이 두 개의 사인 신호를 표시한다. 인접한 이미지에서 위쪽 사인 신호는 테스트 주파수이고, 아래쪽 사인 신호는 기준 신호를 나타낸다.

두 주파수가 정확히 동일하다면 위상 관계는 변하지 않으며 오실로스코프 디스플레이상에서 둘 다 정지해 있는 것처럼 보일 것이다. 두 주파수가 정확히 일치하지 않기 때문에 기준 신호는 정지해 있는 것처럼 보이고 테스트 신호는 움직인다. 테스트 신호의 이동 속도를 측정하여 주파수 간의 오프셋을 결정할 수 있다.

각 사인 신호가 0을 통과하는 지점에 수직선을 그렸다. 그림의 하단에는 신호 간의 위상차를 나타내는 막대가 있다. 이 경우 위상차가 증가하고 있으며, 이는 테스트 신호가 기준 신호보다 주파수가 낮음을 나타낸다.

진동 또는 주기 신호의 위상 공식

단순 조화 운동이나 정현파 신호의 위상은 다음 함수에서의 ${\textstyle \varphi }$ 값이다. $${\begin{aligned}x(t)&=A\cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$$ 여기서 ${\textstyle A}$, ${\textstyle f}$, ${\textstyle \varphi }$는 각각 정현파의 진폭, 주파수, 위상이라고 불리는 상수 매개변수이다. 이 신호들은 주기 ${\textstyle T={\frac {1}{f}}}$를 갖는 주기함수이며, ${\textstyle t}$ 축을 따라 ${\textstyle {\frac {T}{4}}}$만큼 변위된 것을 제외하면 동일하다. "위상"이라는 용어는 여러 가지 다른 의미로 사용될 수 있다.

• ${\textstyle \cos(2\pi ft)}$와 같은 지정된 기준을 가리킬 수 있는데, 이 경우 ${\textstyle x(t)}$의 위상은 ${\textstyle \varphi }$이고 ${\textstyle y(t)}$의 위상은 ${\textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$라고 말한다.
• ${\textstyle \varphi }$ 자체를 가리킬 수 있는데, 이 경우 ${\textstyle x(t)}$와 ${\textstyle y(t)}$는 각자의 특정 기준에 대해 동일한 위상을 가진다고 말한다.
• 통신 파형의 맥락에서, 시간 가변 각도 ${\textstyle 2\pi ft+\varphi }$ 또는 그 주값을 순시 위상이라 부르며, 종종 줄여서 위상이라 부른다.

절대 위상

 이 부분의 본문은 절대 위상입니다.

같이 보기

• 위상속도
• 페이저 (전자)
• 편광
• 결맞음
• 힐베르트 변환