Espace euclidien

Un point dans un espace euclidien de dimension 3 peut être repéré par trois coordonnées.

En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan, ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles.

La donnée d'un produit scalaire permet par exemple de définir la notion de bases particulières dites orthonormales, d'établir une relation canonique entre l'espace et son dual, ou de préciser des familles d'endomorphismes faciles à réduire. Il permet aussi de définir une norme et par conséquent une distance donc une topologie, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse.

Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l'algèbre jusqu'aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article « Géométrie euclidienne ».

Géométrie

Espace euclidien et bipoints

Dans le cadre de la construction des vecteurs à l'aide des classes d'équivalence de bipoints sur un espace affine, une première définition du produit scalaire peut être obtenue. La norme d'un vecteur correspond à la longueur d'un bipoint représentatif, l'angle de deux vecteurs correspond à celui de deux bipoints représentatifs de même origine. La formule donnant le produit scalaire est alors :

$\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle =\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\cos({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}).$

Dans de nombreux cas en physique classique ou en géométrie analytique, si la dimension de l'espace n'est pas trop élevée (typiquement 2 ou 3), cette définition est suffisante. Toutefois, dans le cas général, ce formalisme s'avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l'étude des propriétés topologiques d'un espace euclidien. Une deuxième approche, purement algébrique et plus abstraite, existe, et permet d'établir plus facilement des résultats plus généraux.

Géométrie du triangle

Le cercle d'Euler est un exemple de propriétés démontrables dans le cadre d'un espace euclidien.

Dans un espace euclidien, on peut définir — outre les distances — les angles, comme des classes d'équivalence de couples de vecteurs unitaires, deux tels couples (a, b) et (x, y) représentant le même angle s'il existe une rotation vectorielle qui envoie a sur x et b sur y.

Si E est de dimension strictement supérieure à 2, l'angle de (x, y) est toujours égal à celui de (y, x). Dans le plan, au contraire, les angles orientés forment un groupe, dans lequel les angles de (x, y) et (y, x) sont symétriques l'un de l'autre, et distincts sauf si y = ±x. On distingue alors une notion moins précise d'angle géométrique, commun à (x, y) et (y, x), et dont la mesure θ est donnée par la formule suivante :

$\theta ={\rm {\arccos }}\left({\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\|{\vec {x}}\|\|{\vec {y}}\|}}\right).$

Cette définition permet de formaliser un espace disposant de la même « géométrie du triangle », que celle fondée sur les célèbres postulats décrits les Éléments d'Euclide. Une telle géométrie vérifie les théorèmes de Thalès, de Pythagore, ou d'Al-Kashi.

Un exemple classique est donné par le cercle d'Euler disposant de neuf points remarquables.

Formalisation et premières propriétés

Définitions

Les axiomes d'un espace vectoriel euclidien E concernent deux structures qui se combinent : la première est celle d'espace vectoriel de dimension finie sur le corps ℝ des réels ; la deuxième est la donnée d'une forme bilinéaire appelée « produit scalaire », possédant trois propriétés spécifiques (une forme bilinéaire sur E est une application de E×E dans ℝ, linéaire par rapport à chacune des deux variables).

Définitions — 

• Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une forme bilinéaire 〈⋅, ⋅〉
  • symétrique :$\forall x,y\in E\quad \langle x\,,\,y\rangle =\langle y\,,\,x\rangle ,$
  • définie :$\forall x\in E\quad {\big (}\ \langle x\,,\,x\rangle =0\;\Rightarrow x=0\ {\big )},$
  • positive :$\forall x\in E\quad \langle x\,,\,x\rangle \;\geq \;0.$
• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
• Un espace affine euclidien est un espace affine dont la direction est un espace vectoriel euclidien.
• La norme euclidienne, sur un espace vectoriel préhilbertien E, est la fonction de E dans ℝ₊ qui à un vecteur x associe la racine carrée du produit scalaire de x par lui-même :$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$
• La distance euclidienne associée est, entre deux vecteurs, la norme euclidienne de leur différence :$d(x,y)=\|y-x\|.$

Dans le cas d'un espace affine, la distance entre deux points a et b est égale à la norme du vecteur d'extrémités a et b. Tout espace euclidien, vectoriel ou affine, est donc muni d'une structure d'espace métrique.

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire étant défini, il est non dégénéré : le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à lui-même et a fortiori le seul orthogonal à tout l'espace.

Exemples

• L'espace vectoriel ℝⁿ, muni du produit scalaire canonique et de la norme associée, définis, pour x = (x₁, … , x_n) et y = (y₁, … , y_n), par$\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}},$est un espace euclidien appelé espace euclidien canonique de dimension n.
• Sur l'espace vectoriel M_n(ℝ) des matrices carrées d'ordre n, identifié à ℝ⁽ⁿ²⁾, le produit scalaire canonique se réécrit donc en termes de trace et de matrice transposée :