Summenregel

Die Summenregel^[1]^[2] ist eine grundlegende Ableitungsregel. Sie besagt: Sind zwei Funktionen $u$ und $v$ auf einem Intervall an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion $f = u + v$ an dieser Stelle differenzierbar und man erhält die Ableitung der Summenfunktion durch gliedweises Ableiten:

(u + v)^{'} (x_{0}) = u^{'} (x_{0}) + v^{'} (x_{0})

.^[3]^[4]

Beispiel

Die Funktion

f (x) = x^{4} + x^{3}

ist die Summe der Funktionen

u (x) = x^{4}

und

v (x) = x^{3}

,

welche auf $ℝ$ differenzierbar sind mit

u^{'} (x) = 4 x^{3}

und

v^{'} (x) = 3 x^{2}

Daher ist auch $f (x)$ auf $ℝ$ differenzierbar und es gilt

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2}

.

Herleitung

Seien $u$ und $v$ zwei Funktionen einer Variablen $x$ und $f$ die Summe von $u$ und $v$ . Dann führt eine Änderung $Δ x$ der unabhängigen Variablen zu Änderungen $Δ u$ und $Δ v$ der Summanden und damit mittelbar zu einer Änderung $Δ f$ von $f$ :

Δ f = Δ u + Δ v

.

Hieraus folgt, indem man durch $Δ x$ teilt, die Gleichung

\frac{Δ f}{Δ x} = \frac{Δ u + Δ v}{Δ x} = \frac{Δ u}{Δ x} + \frac{Δ v}{Δ x}

.

Lässt man nun $Δ x \to 0$ gehen, so erhält man die Summenregel.^[5]^[6]

Beweis

Sei $I$ ein Intervall und seien $u, v : I \to ℝ$ in $x_{0} \in I$ differenzierbar. Dann gilt für $f = u + v$ :^[7]

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} & = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) + v (x) - (u (x_{0}) + v (x_{0}))}{x - x_{0}} \\ = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0}) + v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}} \\ = lim_{x \to x_{0}} (\frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} + \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}}) \\ = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} + lim_{x \to x_{0}} \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}} . \end{matrix}

Dabei folgt die letzte Gleichheit aus dem Grenzwertsatz für Funktionengrenzwerte von Summen. Da per Voraussetzung die beiden Grenzwerte der letzten Zeile existieren, existieren auch die Grenzwerte in den Zeilen darüber und es gilt $f^{'} (x_{0}) = u^{'} (x_{0}) + v^{'} (x_{0})$ .

Folgerungen

Differenzregel: Betrachtet man die Differenz $f = g - h = g + (- h)$ für Funktionen $g$ und $h$ , die in $x_{0}$ differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass $f$ in $x_{0}$ differenzierbar ist und für die Ableitung $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0}) - h^{'} (x_{0})$ gilt.
Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind $g_{1}, \dots, g_{n}$ in $x_{0} \in ℝ$ differenzierbare Funktionen und $c_{1}, \dots, c_{n} \in ℝ$ reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination $f (x) := \sum_{i = 1}^{n} c_{i} g_{i} (x)$ wiederum in $x_{0}$ differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
$f^{'} (x_{0}) = {(\sum_{i = 1}^{n} c_{i} g_{i})}^{'} (x_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} {g_{i}}^{'} (x_{0})$ .

Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Siehe auch

Literatur

Karl Strubecker: Einführung in die Höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. Oldenbourg Verlag, München / Wien 1967, S. 86–87.

Weblinks

Summenregel auf MathWorld (englisch)

Einzelnachweise

↑ Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 13.
↑ dtv-Atlas Schulmathematik. 2. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 2003, ISBN 3-423-03099-2, S. 123.
↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 270.
↑ Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis. 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235.
↑ Silvanus Phillips Thompson: Analysis leicht gemacht. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1998, ISBN 3-87144-739-0, S. 29 f.
↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 186 (archive.org).
↑ Michael Spivak: Calculus. 3. Auflage. Publish or Perish, Houston (Texas) 1994, S. 167.

[1] Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 13.

[2] tv-Atlas Schulmathematik. 2. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 2003, ISBN 3-423-03099-2, S. 123.

[3] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 270.

[4] Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis. 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235.

[5] Silvanus Phillips Thompson: Analysis leicht gemacht. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1998, ISBN 3-87144-739-0, S. 29 f.

[6] G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 186 (archive.org).

[7] Michael Spivak: Calculus. 3. Auflage. Publish or Perish, Houston (Texas) 1994, S. 167.

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