Amrywiant

Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, amrywiant yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y gwyriad safonol. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan $σ^{2}$ , $s^{2}$ , ac $Var (X)$ .^[1]

Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd

Amrywiant hapnewidyn $X$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr $X$ , $μ = E [X]$ :

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] .

Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

Var (X) = Cov (X, X) .

Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

\begin{matrix} Var (X) & = E [(X - E [X])^{2}] \\ = E [X^{2} - 2 X E [X] + E [X]^{2}] \\ = E [X^{2}] - 2 E [X] E [X] + E [X]^{2} \\ = E [X^{2}] - E [X]^{2} \end{matrix}

Mewn geiriau eraill, mae amrywiant $X$ yn hafal i gymedr sgwâr $X$ minws sgwâr cymedr $X$ .

Hapnewidyn arwahanol

Os yw generadur hapnewidyn $X$ yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd $x_{1} \mapsto p_{1}, x_{2} \mapsto p_{2}, \dots, x_{n} \mapsto p_{n}$ , yna

Var (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot (x_{i} - μ)^{2},

lle $μ$ yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

μ = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i} .

Hapnewidyn parhaus

Os oes gan hapnewidyn $X$ ffwythiant dwysedd tebygolrwydd $f (x)$ , gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol $F (x)$ , yna

\begin{matrix} Var (X) = σ^{2} & = \int_{Ω} (x - μ)^{2} f (x) d x \\ = \int_{Ω} x^{2} f (x) d x - 2 μ \int_{ℝ} x f (x) d x + μ^{2} \int_{ℝ} f (x) d x \\ = \int_{Ω} x^{2} f (x) d x - 2 μ \cdot μ + μ^{2} \cdot 1 \\ = \int_{Ω} x^{2} f (x) d x - μ^{2}, \end{matrix}

lle $μ$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) $X$ a roddir gan

μ = \int_{Ω} x f (x) d x

Enghreifftiau

Dis teg

Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, $X$ , gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig $X$ yw $(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 7 / 2.$ Felly, amrywiant $X$ yw

\begin{matrix} Var (X) & = \sum_{i = 1}^{6} \frac{1}{6} {(i - \frac{7}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{6} ((- 5 / 2)^{2} + (- 3 / 2)^{2} + (- 1 / 2)^{2} + (1 / 2)^{2} + (3 / 2)^{2} + (5 / 2)^{2}) \\ = \frac{35}{12} \approx 2.92. \end{matrix}

Dosraniad esbonyddol

Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

f (x) = λ e^{- λ x}

ar y cyfwng $Ω = [0, \infty)$ .^[2] Gellir dangos ei gymedr yw

E [X] = \int_{0}^{\infty} λ x e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ} .

Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

\begin{matrix} Var (X) & = \int_{0}^{\infty} {(x - \frac{1}{λ})}^{2} λ e^{- λ x} d x \\ = λ \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- λ x} d x - 2 \int_{0}^{\infty} x e^{- λ x} d x + \frac{1}{λ} \int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d x \\ = λ \frac{2}{λ^{3}} - 2 \frac{1}{λ^{2}} + \frac{1}{λ} \frac{1}{λ} \\ = \frac{1}{λ^{2}} \end{matrix}

Diffiniad Ystadegaeth

Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn amcangyfrif y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr amrywiant sampl.

Rydym yn cymryd sampl o n gwerth Y₁, ..., Y_n o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon.^[3] Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

σ_{Y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \overline{Y})}^{2} .

Fan hyn mae $\overline{Y}$ yn dynodi cymedr y sampl:

\overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} .

Oherwydd dewiswyd Y_i ar hap, mae $\overline{Y}$ ac $σ_{Y}^{2}$ yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

\begin{matrix} E [σ_{Y}^{2}] & = E [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j})}^{2}] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E [Y_{i}^{2} - \frac{2}{n} Y_{i} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j} + \frac{1}{n^{2}} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j} \sum_{k = 1}^{n} Y_{k}] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [\frac{n - 2}{n} E [Y_{i}^{2}] - \frac{2}{n} \sum_{j \neq i} E [Y_{i} Y_{j}] + \frac{1}{n^{2}} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k \neq j}^{n} E [Y_{j} Y_{k}] + \frac{1}{n^{2}} \sum_{j = 1}^{n} E [Y_{j}^{2}]] \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [\frac{n - 2}{n} (σ^{2} + μ^{2}) - \frac{2}{n} (n - 1) μ^{2} + \frac{1}{n^{2}} n (n - 1) μ^{2} + \frac{1}{n} (σ^{2} + μ^{2})] \\ = \frac{n - 1}{n} σ^{2} . \end{matrix}

Felly mae $σ_{Y}^{2}$ yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o $\frac{n - 1}{n}$ . Felly fe elwir $σ_{Y}^{2}$ yr amrywiant sampl bias. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r amrywiant sampl diduedd, a ddynodir gan $s^{2}$ :

s^{2} = \frac{n}{n - 1} σ_{Y}^{2} = \frac{n}{n - 1} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \overline{Y})}^{2}) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \overline{Y})}^{2} .

Cyfeiriadau

↑ Wackerly, Dennis D., 1945- (2008). Mathematical statistics with applications. Mendenhall, William., Scheaffer, Richard L. (arg. Seventh edition). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-11081-1. OCLC 183886598.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
↑ Stewart, William J., 1946- (2009). Probability, Markov chains, queues, and simulation : the mathematical basis of performance modeling. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 1-4008-3281-0. OCLC 756484370.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York

[1] Wackerly, Dennis D., 1945- (2008). Mathematical statistics with applications. Mendenhall, William., Scheaffer, Richard L. (arg. Seventh edition). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-11081-1. OCLC 183886598.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)

[2] Stewart, William J., 1946- (2009). Probability, Markov chains, queues, and simulation : the mathematical basis of performance modeling. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 1-4008-3281-0. OCLC 756484370.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York

[1]

[2]

[3]